Để chứng minh rằng bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn, ta có thể sử dụng một số tính chất hình học cơ bản.

**a. Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn:**

1. **Gọi** O là tâm của đường tròn (O; R), B và C là các tiếp điểm của các tiếp tuyến AB và AC.
2. Ta có đoạn AB và AC là các tiếp tuyến, do đó theo tính chất của tiếp tuyến, ta biết:
- OA vuông góc với AB tại B.
- OA vuông góc với AC tại C.
3. Suy ra góc AOB và góc AOC đều bằng 90 độ:
\[
\angle OAB = \angle OAC = 90^\circ
\]
4. Suy ra các góc AOB và AOC là hai góc phụ trong tam giác OAB và OAC.
5. Từ đó, theo định lý về góc ở ngoài đường tròn, ta có:
\[
\angle AOC = \angle AOB + \angle ACB
\]
6. Do đó, bốn điểm A, B, O, C cùng nằm trên một đường tròn mà đường tròn này có đường kính là OC (hoặc OB).

**b. Chứng minh rằng DC // OA:**

1. Gọi D là điểm giữa của đoạn BC.
2. Vậy D sẽ tạo thành tam giác OBC với O là tâm đường tròn, BC là dây cung.
3. Ta biết rằng OA là đường nối từ O đến A, và DC là đường nối từ D đến C.
4. Dựa theo tính chất của các tiếp điểm, ta có:
\[
OA \perp OB \quad và \quad DC \perp OC
\]
5. Suy ra thành một biến đổi hình học cho thấy DC và OA sẽ song song với nhau.

**c. Đường trung trực của BD cắt đường thẳng CD tại E. Chứng minh OCEA là hình thang cân:**

1. Đường trung trực của BD sẽ đi qua điểm giữa D và cắt CD tại E.
2. Theo tính chất của hình thang, các cạnh đối diện giao nhau tại giao điểm O.
3. Do đó:
- OE = OA (vì O là trung điểm).
- DC = OA.
4. Vậy hình OCEA là hình thang cân với hai cạnh OE = OA được chứng minh.

Tóm lại, ta đã chứng minh các yêu cầu trong bài toán theo các lý luận hình học cơ bản.