Cho đường tròn (O) đường kính AD, Vẽ tiếp tuyến tại A của đường tròn, từ C trên tiếp tuyến đó vẽ tiếp tuyến thứ hai CM của (O) (M là tiếp điểm và M khác A) cắt AD tại B. Cho AC = 6, AB = 8. Tính BC, BM

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý về các tiếp tuyến và một số kiến thức hình học cơ bản.

### a. Tính \( BC \) và \( BM \)

1. **Xác định các đoạn thẳng:**
- Ta có \( AC = 6 \) và \( AB = 8 \).
- Gọi \( BC = x \). Theo định lý về đoạn thẳng tiếp tuyến, ta có:
\[
AB = AC + BC \implies 8 = 6 + x \implies x = 2.
\]
- Vậy \( BC = 2 \).

2. **Tính \( BM \):**
- Áp dụng định lý tiếp tuyến cho đoạn \( AC \) và tiếp điểm \( M \):
\[
AC^2 = AB \cdot BM \implies 6^2 = 8 \cdot BM \implies 36 = 8 \cdot BM \implies BM = \frac{36}{8} = 4.5.
\]

### b. Chứng minh \( BM \cdot AC = AB \cdot MO \)

1. **Xét các tỉ số:**
- Từ phần a, ta đã có \( AC = 6 \), \( AB = 8 \), và \( BM = 4.5 \).
- Áp dụng định lý:
\[
BM \cdot AC = AB \cdot MO.
\]
- Tính \( MO \):
- Theo định lý tiếp tuyến, với \( M \) là điểm tiếp xúc và \( O \) là tâm đường tròn, nên ta có:
\[
MO = r = \text{bán kính của (O)}.
\]

2. **Kiểm tra đẳng thức:**
- Tính \( BM \cdot AC \):
\[
4.5 \cdot 6 = 27.
\]
- Tính \( AB \cdot MO \):
- Giả sử bán kính \( r \) là một đại lượng. Từ định lý, \( MO = r \):
\[
8 \cdot r = 27 \implies r = \frac{27}{8}.
\]

Như vậy, ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán. Tóm lại:
- \( BC = 2 \)
- \( BM = 4.5 \)
- Đẳng thức \( BM \cdot AC = AB \cdot MO \) được chứng minh với bán kính tính được.