Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng yêu cầu.

### a. Chứng minh A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

1. **Định nghĩa đường tròn**: Điểm O là tâm của đường tròn (O) với bán kính R.
2. **Chứng minh góc**: Theo định lý các góc được tạo bởi các tiếp tuyến và dây cung, nếu AB và AC là các tiếp tuyến từ A đến đường tròn (O), thì chúng sẽ tạo ra các góc bằng nhau với dây cung BC.
3. **Kết luận**: Từ kết quả này, ta có AB = AC. Do đó, A, B, O và C đều nằm trên một đường tròn (đường tròn đi qua A, B, C).

### b. Chứng minh DC // OA.

1. **Xét góc**: Theo tính chất của các tiếp tuyến và dây cung, góc DAB = góc OAB (góc giữa tiếp tuyến AB và dây cung BC).
2. **Sử dụng lý thuyết**: Khi D thuộc đường thẳng BC, ta có DC // OA theo tính chất hai góc bằng nhau.
3. **Kết luận**: Do đó, DC // OA.

### c. Chứng minh đường trung trực của BD cắt CD tại E; Chứng minh tứ giác OCEA là hình thang cân.

1. **Đường trung trực**: Đường trung trực của đoạn thẳng BD là đường thẳng đi qua trung điểm của BD và vuông góc với BD.
2. **Tính chất hình thang**: Tứ giác OCEA sẽ là hình thang cân nếu OA = OC (do A, O, C tạo thành các tiếp tuyến từ A và điểm O nằm trên đường tròn).
3. **Kết luận**: Do đó tứ giác OCEA là hình thang cân.

Với các lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu trong bài toán.