Để tính tổng \( S = \frac{4}{5 \times 7} + \frac{4}{7 \times 9} + \frac{4}{9 \times 11} + \ldots + \frac{4}{59 \times 61} \), ta có thể viết lại mỗi phần của tổng:

\[
S = 4 \left( \frac{1}{5 \times 7} + \frac{1}{7 \times 9} + \frac{1}{9 \times 11} + \ldots + \frac{1}{59 \times 61} \right)
\]

Mỗi phân số có dạng \(\frac{1}{a \times b}\), có thể viết thành hiệu của hai phân số:

\[
\frac{1}{a \times b} = \frac{1}{b - a} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)
\]

Áp dụng vào từng phần, ta có:

\[
\frac{1}{5 \times 7} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) \\
\frac{1}{7 \times 9} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \right) \\
\frac{1}{9 \times 11} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{11} \right) \\
\text{và cứ tiếp tục như thế cho đến} \\
\frac{1}{59 \times 61} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{59} - \frac{1}{61} \right)
\]

Khi thực hiện phép tính này, các số sẽ hủy nhau dần:

Tổng sẽ là:

\[
S = 4 \left( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{61} \right) \right) = 2 \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{61} \right)
\]

Giải tiếp:

\[
= 2 \left( \frac{61 - 5}{5 \cdot 61} \right) = 2 \left( \frac{56}{305} \right) = \frac{112}{305}
\]

Vậy kết quả là \( \frac{112}{305} \).