Để chứng minh rằng \( B = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{15}{16} + \ldots + \frac{2499}{2500} \) không phải là số tự nhiên, trước tiên, ta hãy phân tích các số hạng trong chuỗi.

Các số hạng trong chuỗi có dạng:

\[
\frac{n^2 - 1}{n^2}
\]

Trong đó \( n \) là số nguyên dương bắt đầu từ 2 đến 2500. Cụ thể:

- Số hạng đầu tiên là \( \frac{3}{4} = \frac{2^2 - 1}{2^2} \)
- Số hạng thứ hai là \( \frac{8}{9} = \frac{3^2 - 1}{3^2} \)
- Số hạng thứ ba là \( \frac{15}{16} = \frac{4^2 - 1}{4^2} \)
- ...
- Số hạng cuối cùng là \( \frac{2499}{2500} = \frac{2500-1}{2500} \)

Vì vậy, ta có thể viết lại tổng \( B \) như sau:

\[
B = \sum_{n=2}^{2500} \frac{n^2 - 1}{n^2}
\]

Ta có thể tách các số hạng trong tổng:

\[
B = \sum_{n=2}^{2500} \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \sum_{n=2}^{2500} 1 - \sum_{n=2}^{2500} \frac{1}{n^2}
\]

Tổng \( \sum_{n=2}^{2500} 1 \) có thể được tính là:

\[
\sum_{n=2}^{2500} 1 = 2500 - 2 + 1 = 2499
\]

Tổng \( \sum_{n=2}^{2500} \frac{1}{n^2} \) là một tổng nghiệm không có dạng số tự nhiên và giá trị của nó sẽ nhỏ hơn 1 (vì tổng của dãy số này hội tụ).

Biểu thức cho \( B \) sau khi tách sẽ trở thành:

\[
B = 2499 - \sum_{n=2}^{2500} \frac{1}{n^2}
\]

Từ đây, ta thấy rằng:

- \( \sum_{n=2}^{2500} \frac{1}{n^2} \) là một số dương nhỏ hơn 1.
- Do đó, \( B = 2499 - \text{số dương} \).

Khi trừ một số dương nhỏ hơn 1 từ 2499, \( B \) sẽ có giá trị khoảng 2498.99... (là một số thực không phải là số tự nhiên).

Như vậy, ta có thể kết luận rằng \( B \) không phải là số tự nhiên.