Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một cách hệ thống.

### a) Chứng minh rằng: Tam giác DAE = Tam giác DBF.

Để chứng minh hai tam giác DAE và DBF bằng nhau, chúng ta sẽ sử dụng các thuộc tính về tam giác cân và các yếu tố liên quan:

1. Ta có tam giác DEF là tam giác cân tại D, từ đó có DE = DF.
2. Do EA = FB (theo giả thiết), và D nằm giữa E và F (tính chất của tam giác), ta có DA = DB.
3. Xét góc DAE và DBF:
- Góc DAE = Góc DBF (do mà D là đỉnh của tam giác DEF).
4. Từ các yếu tố trên, chúng ta có:
- DE = DF
- DA = DB
- Góc DAE = Góc DBF

Như vậy, theo tiêu đề Tam giác (SSS), ta có: **Tam giác DAE = Tam giác DBF**.

### b) Kẻ EM vuông góc với DA tại M, kẻ FN vuông góc với DB tại N. Chứng minh rằng: EM = FN.

1. Ở đây, vì EM ⊥ DA và FN ⊥ DB, nên ta có hai tam giác vuông EMN và FNM.
2. Ta có các yếu tố như sau:
- Tam giác DAE = Tam giác DBF đã chứng minh ở trên.
- Do đó, chúng ta có DE = DF và DA = DB.
3. Xét hai tam giác vuông tại M và N:
- EM là chiều cao từ E xuống DA.
- FN là chiều cao từ F xuống DB.
4. Vì DE = DF, và hai đường cao tương ứng từ E và F đến các cạnh DA và DB là bằng nhau, ta có: **EM = FN**.

### c) Chứng minh rằng: MN // AB.

Để chứng minh rằng MN // AB, chúng ta nhìn vào các yếu tố góc:

1. Tam giác DAE và DBF là bằng nhau, từ đó chúng ta có:
- Từ việc kẻ EM vuông góc với DA và FN vuông góc với DB, ta có:
- Góc EMN = 90°
- Góc FNM = 90°
2. Vì góc EMN và FNM đều là các góc vuông, và hai tam giác này là đồng dạng, ta có chứng minh được rằng **MN // AB**.

### d) Trên tia đối của tia DB, lấy điểm C sao cho DB = DC. Chứng minh CA vuông góc với AB.

Để chứng minh rằng CA ⊥ AB, chúng ta sẽ sử dụng các yếu tố đã chứng minh trong phần trước:

1. Cho điểm C trên tia đối của DB sao cho DB = DC.
2. Trong tam giác DBF (và các góc tương ứng), ta có góc DAB và DBF bằng nhau (đã chứng minh từ A và B).
3. Suy ra: Góc CAB và góc CBF đều bằng nhau do tính chất tương ứng của các tam giác.
4. Hơn nữa, từ mối quan hệ giữa các góc vuông, ta có quả tam giác CAB là tam giác vuông tại A.
5. Do đó, ta kết luận rằng **CA ⊥ AB**.

Tóm lại, qua từng phần chứng minh, ta hoàn thành các yêu cầu của bài toán.