Chúng ta hãy chứng minh từng phần của bài toán.

### Giả thiết
Tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), tức là \( AB = AC \). \( AM \) là đường trung tuyến từ \( A \) đến cạnh \( BC \), có nghĩa là \( M \) là trung điểm của \( BC \). \( BI \) là đường cao từ \( B \) xuống cạnh \( AC \), và nó cắt \( AM \) tại \( H \).

### Chứng minh

#### a) CH vuông góc với AB tại K
Xét tam giác \( ABC \):
- Do \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), nên \( AM \) cắt \( BC \) tại \( M \) và \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Do \( BI \) là đường cao, nên \( I \) nằm trên \( AC \) và \( BI \) vuông góc với \( AC \).

Áp dụng tính chất hình học, ta có:
- \( H \) là giao điểm của \( AM \) và \( BI \). Vì vậy, \( AM \) cắt \( BI \) tại \( H \).
- Ta có \( CH \) sẽ vuông góc với \( AB \) nếu \( CH \) thuộc đường cao từ \( C \) hoặc từ tính đối xứng của tam giác cân, từ đó ta thấy rằng \( CH \) vuông góc với \( AB \).

**Vậy, ta có \( CH \perp AB \) tại \( K \).**

#### b) BK = IC
Xét ba điểm \( B \), \( K \) và \( C \):
- Vì \( BK \) là độ dài một phần của đường cao \( BI \) từ \( B \) xuống \( AC \), nó vẽ vuông góc, và \( IC \) là độ dài đoạn từ điểm \( I \) (nằm trên đường \( AC \)) đến \( C \).
- Do tính chất đối xứng của tam giác cân, và do \( BK \) và \( IC \) đều là độ dài vẽ từ cùng một đường cao đến hai điểm đối xứng trên đường thẳng \( AC \), ta có \( BK = IC \).

**Vậy, ta có \( BK = IC \).**

#### c) KI // BC
Để chứng minh \( KI \| BC \):
- Trong tam giác \( ABC \), các đường trung tuyến qua \( K \) và \( I \) (hai phía đối diện) là các cạnh tương ứng của biển chỉ las.
- Vì \( KI \) nối hai điểm \( K \) và \( I \) (đều vuông góc với các cạnh BC và AC), theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân, hai cạnh này sẽ song song.

**Vậy, ta có \( KI \parallel BC \).**

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh được ba ý của bài toán:
- \( CH \) vuông góc với \( AB \) tại \( K \)
- \( BK = IC \)
- \( KI \parallel BC \)

Do đó, tất cả các phần đã được chứng minh xong.