Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD

1. **Xác định các góc:**
- Tính góc AHB và BCD.
- Vì AB và CD song song, góc AHB và góc BCD là các góc so le trong, nên ta có:
\[ \angle AHB = \angle BCD. \]

2. **Xác định một góc khác:**
- Tính góc A và góc B.
- Do AD và AB là các cạnh của hình chữ nhật, nên tất cả các góc tại A và B đều bằng 90 độ:
\[ \angle A = \angle B = 90^\circ. \]

3. **Sử dụng tiêu chí đồng dạng:**
- Ta có \(\angle AHB = \angle BCD\) và \(\angle A = \angle B\).
- Do đó, theo tiêu chí đồng dạng AA (góc-góc), ta có tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD:
\[ \triangle AHB \sim \triangle BCD. \]

### b) Chứng minh AD^1 = DH.DB

Để chứng minh tỉ số giữa các đoạn thẳng, ta sử dụng tính chất đồng dạng của hai tam giác: \(\triangle AHB \sim \triangle BCD\):

1. **Thiết lập tỉ số:**
- Từ định nghĩa đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AH}{BC} = \frac{AD}{BD} = \frac{AB}{CD}
\]

2. **Thay vào những phát biểu cần chứng minh:**
- Với \( AD = 3 \) cm, \( AB = 4 \) cm và \( DH = DC - BC = 3 - y \) (với y là đoạn DB):
\[
AD = DH.DB \implies 3 = (3 - y) \cdot y
\]

### c) Tính độ dài đoạn thẳng DH và AH

1. **Để tính đoạn AH:**
- Sử dụng tính chất của tam giác vuông:
\[
AH = \frac{AB \cdot AD}{BC}
\]
- Với \( AD = 3 \, \text{cm}, AB = 4 \, \text{cm} \):
- Tính \( AH \) bằng công thức sau:
\[
AH = \frac{4 \cdot 3}{BC}
\]

2. **Tính đoạn DH:**
- Sử dụng tỉ số từ phần b:
\[
3 = DH \cdot (3 - DH)
\]
- Giải phương trình này để tìm giá trị của DH.

### Tóm lại:
- Lời giải trên lý thuyết của bài toán đã được trình bày và yêu cầu tính toán thực tế hoặc giải phương trình cụ thể sẽ cần thêm thông tin về chiều dài DB hoặc BC.
- Bạn có thể cho biết thêm thông tin nếu cần thiết để hỗ trợ cho các bước tính toán chính xác!