Cho hình chóp SABC các điểm M; N lần lượt thuộc cạnh SA; SC, gọi I là giao điểm của MN và AC. Tính tỉ số AI/IC

Để tính tỉ số AI/IC trong hình chóp SABC với các điểm M thuộc cạnh SA và N thuộc cạnh SC, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc giao điểm.

Giả sử các điểm A, B, C, S được định nghĩa trong không gian ba chiều với tọa độ như sau:
- A(0, 0, 0)
- B(b, 0, 0)
- C(c, d, 0)
- S(e, f, g)

Điểm M thuộc cạnh SA có thể được biểu diễn bằng tỉ lệ \( t \) của phân đoạn SA:

\[
M = (1-t)S + tA = ((1-t)e + t \cdot 0, (1-t)f + t \cdot 0, (1-t)g + t \cdot 0) = ((1-t)e, (1-t)f, (1-t)g)
\]

Tương tự, điểm N thuộc cạnh SC có thể được biểu diễn bằng tỉ lệ \( u \):

\[
N = (1-u)S + uC = ((1-u)e + u \cdot c, (1-u)f + u \cdot d, (1-u)g)
\]

Bây giờ, chúng ta tìm phương trình đường thẳng MN. Đường thẳng này có thể viết như sau:

\[
MN: \text{R} = M + t(N-M)
\]

Giao điểm I của đường thẳng MN và trực tuyến AC nằm trong mặt phẳng chứa AC. Đường thẳng AC có điều kiện là \( z=0 \) (vì A và C đều nằm trong mặt phẳng này).

Giả sử phương trình của đường thẳng AC là:

\[
AC: (1-s)A + sC = ((1-s) \cdot 0 + s \cdot c, (1-s) \cdot 0 + s \cdot d, 0) = (sc, sd, 0)
\]

Bây giờ, để tìm giao điểm I, chúng ta cần đảm bảo rằng tọa độ của I từ cả hai đường thẳng này là bằng nhau. Thay vào đó, để tìm tỉ lệ \( AI/IC \), chúng ta có thể sử dụng quy tắc tỉ lệ chia trong tam giác.

Gọi \( AI=x \) và \( IC=y \).
Từ đó, ta có:

\[
\frac{AI}{IC} = \frac{x}{y} = \frac{M}{N}
\]

Và sau đó, từ tỉ lệ chia của đoạn thẳng, chúng ta có thể sử dụng tỉ lệ tương ứng với \( t \) và \( u \) của điểm M và N. Tỉ số cuối cùng sẽ tương ứng với tỉ lệ mà bạn tính toán thông qua các phần tử trong tâm của hình chóp.

Cuối cùng, ta có thể rút ra được rằng:

\[
\frac{AI}{IC} = \frac{t}{u}
\]

Ở đây \( t \) và \( u \) là tỉ lệ mà điểm M và N chia các cạnh SA và SC. Lưu ý rằng tỉ lệ này có thể chứa các yếu tố khác nhau phụ thuộc vào độ dài cụ thể của các đoạn thẳng từ A đến C và S đến M, N.