Để phân tích đa thức \(x^2 + 2y^2 + 2xy + 3x + 3y\), chúng ta có thể sử dụng phương pháp nhóm và hoàn thiện bình phương. Bước đầu tiên là sắp xếp lại các hạng tử theo cách dễ xử lý hơn:

\[
x^2 + 2xy + 2y^2 + 3x + 3y
\]

Bây giờ, chúng ta nhóm các hạng tử liên quan:

\[
(x^2 + 2xy + 2y^2) + (3x + 3y)
\]

Bây giờ, ta xem xét phần \(x^2 + 2xy + 2y^2\):

Ta có thể viết phần này như sau:

\[
x^2 + 2xy + y^2 + y^2 = (x+y)^2 + y^2
\]

Vậy thành phần này có thể được viết lại thành:

\[
(x+y)^2 + y^2
\]

Bây giờ ta sẽ quay lại với phần \(3x + 3y\). Ta có thể viết nó thành:

\[
3(x + y)
\]

Vậy chúng ta viết lại biểu thức ban đầu như sau:

\[
(x+y)^2 + y^2 + 3(x+y)
\]

Đặt \(z = x + y\), ta có:

\[
z^2 + y^2 + 3z
\]

Tiếp theo, ta sẽ hoàn thiện bình phương cho phần \(z^2 + 3z\):

\[
z^2 + 3z = (z + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}
\]

Khi đó, ta có:

\[
(z + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + y^2
\]

Do đó, toàn bộ đa thức ban đầu có thể được viết dưới dạng:

\[
(z + \frac{3}{2})^2 + y^2 - \frac{9}{4}
\]

Tuy nhiên, nó chưa thể phân tích mạnh mẽ hơn nữa, vì không phải tất cả các hạng tử có thể được sắp xếp thành một tích của các đa thức. Vậy nên, ngay cả khi đa thức không được phân tích thành nhân tử hoàn toàn một cách đơn giản, chúng ta có thể viết lại nó theo cách trên.

Tóm lại, biểu thức \(x^2 + 2y^2 + 2xy + 3x + 3y\) không thể phân tích thành các nhân tử đơn giản hơn, nhưng có thể tái cấu trúc lại theo trên để thấy rõ hơn.