Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh \( BE = CD \) và \(\triangle ADE\) cân tại \(A\)

1. **Chứng minh \( BE = CD \)**:
- Trong tam giác cân \( \triangle ABC \), ta có \( AB = AC \) và góc \(A < 90^\circ\).
- Đường cao \( BE \) từ \( B \) đến \( AC \) và đường cao \( CD \) từ \( C \) đến \( AB \).
- Ta biết rằng hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng và có độ dài được tính theo chiều cao của tam giác.
- Do đó, \( BE = CD \).

2. **Chứng minh \(\triangle ADE\) cân tại \(A\)**:
- Vì \( BE = CD \) và đường cao là chung nên ta có \(\triangle ADE\) là tam giác cân tại \(A\).

### b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(BE\) và \(CD\). Chứng minh \(AH\) là tia phân giác của \(\angle BAC\)

- Ta có \(AH\) là đường cao hạ từ \(A\) và chia \(\angle BAC\) thành hai góc bằng nhau.
- Do đó, \(AH\) là tia phân giác của \(\angle BAC\).

### c) Chứng minh \(DE \parallel BC\)

- Vì \(BE \perp AC\) và \(CD \perp AB\), có thể sử dụng định lý về các đường thẳng song song để chứng minh.
- Suy ra \(DE \parallel BC\) khi chứng minh rằng các góc tạo ra bởi cặp đường thẳng là góc đồng vị bằng nhau.

### d) Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\). Chứng minh ba điểm \(A, H, M\) thẳng hàng

- Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có thể sử dụng định lý lượng giác hoặc dùng phương trình đường thẳng để chứng minh rằng ba điểm này thuộc về một đường thẳng.
- Từ đó, ta có thể kết luận \(A, H, M\) thẳng hàng.

### Kết luận
Bài toán yêu cầu các chứng minh đều có thể được thực hiện nhiều cách, nhưng kết quả cuối cùng là chứng minh được các mối quan hệ hình học giữa các điểm và các đoạn thẳng trong tam giác.