Để chứng minh rằng AHCK là một hình bình hành và O là trung điểm của BD thì O cũng là trung điểm của HK, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước như sau:

### Phần a: Chứng minh AHCK là một hình bình hành

1. **Xét các đặc điểm hình học của hình bình hành:** Một tứ giác là hình bình hành nếu như hai cặp cạnh đối diện vuông góc và bằng nhau.

2. **Chứng minh các cạnh trong AHCK:**
- Đường thẳng AH vuông góc với BD tại H và đường thẳng CK vuông góc với BD tại K.
- Vì AB || DC và AH ⊥ BD, CK ⊥ BD, từ đó chắc chắn rằng AH || CK và AH = CK.

3. **Tương tự cho các cạnh còn lại:**
- Cạnh AC và HK được tạo thành từ cạnh AD và BC của hình bình hành ABCD.
- Do AB = DC và AD = BC, suy ra AC || HK và AC = HK.

4. **Kết luận:** Vì AH || CK và AC || HK; đồng thời AH = CK và AC = HK, nên AHCK là hình bình hành.

### Phần b: Chứng minh O là trung điểm của BD thì O cũng là trung điểm của HK

1. **Xét điểm O và các đoạn thẳng:**
- Nếu O là trung điểm của BD, nghĩa là \(BO = OD\).

2. **Chúng ta đã biết rằng AH || CK và AC || HK:**
- Từ vị trí của H và K, chúng ta có thể lập luận rằng chiều dài của đoạn OH và OK sẽ tương ứng bởi vì các cạnh của hình bình hành tạo thành hình thang vuông.

3. **Vì O là trung điểm của BD và HK thì cả hai đoạn thẳng HK cũng sẽ chia đều:**
- Do đó, nếu O là trung điểm của BD thì O cũng là trung điểm của HK.

### Kết luận chung:
Chúng ta đã chứng minh được rằng AHCK là hình bình hành và điểm O chia đều BD thì cũng chia đều HK.