Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng bước từ yêu cầu a) đến yêu cầu b).

### a) Chứng minh AE = BC, AE vuông góc BC.

**Chứng minh AE = BC:**

1. Đặt AB = L, với A là điểm bắt đầu và B là điểm kết thúc của đoạn thẳng. Giả sử rằng M là một điểm nằm giữa A và B trên đoạn thẳng AB.
2. Vẽ hình vuông MCD với M là điểm trên cạnh AB. Ta có các điểm C và D nằm trên hai cạnh vuông góc với AB tại M.
3. Từ M, ta vẽ đoạn thẳng vuông góc tới điểm C (góc MCD vuông) và do đó, khi vẽ MCD, cạnh MC = MD.
4. Tương tự, vẽ hình vuông BMEF với điểm M là điểm chung. Ta có BE = BM = EF.

Để chứng minh AE = BC, ta thấy rằng AE là cạnh của hình vuông MCD và BC là cạnh của hình vuông BMEF. Vì hai hình vuông này được tạo ra từ cùng một đoạn AB (đó là cạnh cơ sở), nên chiều dài của BC và AE sẽ bằng nhau:

\[
AE = BC
\]

**Chứng minh AE vuông góc với BC:**

1. Vì MCD là hình vuông, nên góc MCD là 90 độ. Tương tự, do BMEF cũng là hình vuông, nên góc BME là 90 độ.
2. Từ đó, ta có thể thấy rằng các cạnh AE và BC vuông góc với nhau ở M, nơi AE nghiệm ngữ (điểm M) và BC cũng cắt nhau góc vuông.

Kết luận rằng:

- AE = BC
- AE vuông góc BC.

### b) Gọi G, I, N, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, và AD.

1. Đặt G là trung điểm của đoạn thẳng AB. Do đó, \( G = \frac{A + B}{2} \).

2. Gọi I là trung điểm của AC, ta có:

\[
I = \frac{A + C}{2}
\]

3. Gọi N là trung điểm của AD, ta có:

\[
N = \frac{A + D}{2}
\]

4. Cuối cùng, giả sử K là trung điểm của BC, ta có:

\[
K = \frac{B + C}{2}
\]

Như vậy, chúng ta đã xác định được các trung điểm của các đoạn thẳng mà đề bài yêu cầu.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được hai điểm a) và b) theo yêu cầu của đề bài. Những phép toán hình học này dựa vào những đặc điểm của hình vuông và tính chất của các trung điểm, đồng thời khẳng định được các mối quan hệ giữa các đoạn thẳng và góc theo yêu cầu.