Để giải bất phương trình sau:

\[
\frac{x+1}{2} + \frac{x+2}{3} + \frac{x+3}{4} \geq 1 + \frac{x}{2}
\]

ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tìm mẫu số chung**: Mẫu số chung nhỏ nhất của 2, 3 và 4 là 12.

2. **Biến đổi bất phương trình**:

Nhân cả hai vế với 12 (không thay đổi dấu bất phương trình vì 12 > 0):
\[
12 \cdot \left(\frac{x+1}{2} + \frac{x+2}{3} + \frac{x+3}{4}\right) \geq 12 \cdot \left(1 + \frac{x}{2}\right)
\]

Tính từng phần:
\[
12 \cdot \frac{x+1}{2} = 6(x + 1) = 6x + 6
\]
\[
12 \cdot \frac{x+2}{3} = 4(x + 2) = 4x + 8
\]
\[
12 \cdot \frac{x+3}{4} = 3(x + 3) = 3x + 9
\]
\[
12 \cdot \left(1 + \frac{x}{2}\right) = 12 + 6x
\]

Ráp nối lại, ta có:
\[
6x + 6 + 4x + 8 + 3x + 9 \geq 12 + 6x
\]

Gộp các hạng tử lại:
\[
(6x + 4x + 3x) + (6 + 8 + 9) \geq 12 + 6x
\]
\[
13x + 23 \geq 12 + 6x
\]

3. **Giải bất phương trình**:
Trừ \(6x\) từ cả hai bên:
\[
7x + 23 \geq 12
\]

Trừ 23 từ cả hai bên:
\[
7x \geq -11
\]

Chia cả hai bên cho 7:
\[
x \geq -\frac{11}{7}
\]

4. **Kết luận**:
Bất phương trình có nghiệm là:
\[
x \geq -\frac{11}{7}
\]

Bạn có thể kiểm tra lại để đảm bảo tính chính xác của các bước.