Để chứng minh rằng khoảng cách từ điểm M đến đoạn thẳng AB không lớn hơn AB/2, ta có thể sử dụng một số tính chất hình học của nửa đường tròn.

1. **Xác định bán kính và khoảng cách**:
- Gọi O là trung điểm của đoạn AB. Vì AB là đường kính của nửa đường tròn nên O là tâm của nửa đường tròn.
- Gọi R là bán kính của nửa đường tròn, tức là OA = OB = R.

2. **Chú ý về điểm M**:
- Điểm M nằm trong nửa đường tròn, nghĩa là khoảng cách từ O đến M (OM) không lớn hơn R.

3. **Xét các trường hợp**:
- Nếu M nằm trên đường thẳng nối O với A (hoặc B), thì khoảng cách từ M đến AB chính là khoảng cách từ M đến O, và dễ thấy rằng sẽ không lớn hơn R.
- Nếu M nằm ở các vị trí khác trong nửa đường tròn, khoảng cách từ M đến AB sẽ tương đương với khoảng cách từ M đến đường thẳng đi qua O vuông góc với AB, tức là khoảng cách này sẽ là độ dài của đoạn thẳng từ M đến AB.

4. **Sử dụng định lý Pythagoras**:
- Khi vẽ đường vuông góc từ M đến AB, ta tạo thành một tam giác vuông với cạnh huyền là OM và một cạnh là khoảng cách d từ M đến AB.
- Theo định lý Pythagoras, ta có:
\[
OM^2 = OA^2 - d^2.
\]
- Do Rô không lớn hơn R, ta có:
\[
d^2 \leq OA^2 \Rightarrow d \leq \sqrt{OA^2 - OM^2}.
\]

5. **Kết luận**:
- Xét trường hợp xấu nhất khi M nằm gần nhất với AB, khoảng cách từ M tới AB vẫn không vượt quá R (bán kính).
- Như vậy, ta có:
\[
d \leq AB/2.
\]

Do đó, khoảng cách từ M đến AB không lớn hơn AB/2. Cụ thể, chúng ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.