### Bài 1:

#### a) Tính giá trị của biểu thức \( N \) tại \( x = -5 \):

\[ N = \frac{3}{x + 2} \]

Thay \( x = -5 \):

\[ N = \frac{3}{-5 + 2} = \frac{3}{-3} = -1 \]

---

#### b) Rút gọn biểu thức \( M \):

Biểu thức được cho là:

\[ M = \frac{x}{x - 2} + \frac{3}{x + 2} - \frac{x - 10}{x^2 - 4} \]

Biểu thức \( x^2 - 4 \) có thể viết lại là \( (x - 2)(x + 2) \).

Rút gọn như sau:

1. Chuyển \( \frac{x - 10}{x^2 - 4} \) thành dạng chung:

\[ M = \frac{x \cdot (x + 2) + 3 \cdot (x - 2) - (x - 10)}{(x - 2)(x + 2)} \]

2. Tính tử số:

\[ x(x + 2) + 3(x - 2) - (x - 10) \]

Sắp xếp lại:

\[ x^2 + 2x + 3x - 6 - x + 10 = x^2 + 4x + 4 \]

3. Rút gọn:

\[ M = \frac{x^2 + 4x + 4}{(x - 2)(x + 2)} \]

\[ M = \frac{(x + 2)^2}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x + 2}{x - 2} \quad (x \neq -2) \]

---

#### c) Đặt \( P = M \cdot N \). Tìm giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( P \) có giá trị là số nguyên.

\[ P = M \cdot N = \frac{x + 2}{x - 2} \cdot (-1) = -\frac{x + 2}{x - 2} \]

Để \( P \) là số nguyên, yêu cầu \( \frac{x + 2}{x - 2} \) là số nguyên, nghĩa là \( x + 2 \) chia hết cho \( x - 2 \).

Giả sử \( \frac{x + 2}{x - 2} = k \), với \( k \) là số nguyên:

\[ x + 2 = k(x - 2) \]

Giải phương trình:

\[ x + 2 = kx - 2k \]

\[ x - kx = -2k - 2 \]

\[ x(1 - k) = -2(k + 1) \]

\[ x = \frac{-2(k + 1)}{1 - k}, \, k \neq 1 \]

---

### Bài 2:

#### 1. Biết đồ thị của hàm số \( y = ax + 2 \) đi qua \( A(1; -4) \). Xác định \( a \).

Thay tọa độ điểm \( A(1, -4) \):

\[ -4 = a(1) + 2 \]

Giải phương trình:

\[ -4 - 2 = a \]

\[ a = -6 \]

---

#### 2. Giải phương trình:

##### a)

\[ 2(2x - 1) = 5(x - 1) \]

Giải:

\[ 4x - 2 = 5x - 5 \]

\[ -x = -3 \]

\[ x = 3 \]

##### b)

\[ \frac{6(x - 2) - 12}{7} = \frac{2(x - 7)}{3} \]

Giải:

Tìm bội chung giữa 7 và 3, ta nhân 7:

\[ 6(x - 2) - 12 = \frac{14(x - 7)}{3} \]

Giải tiếp:

\[
18(x - 2) - 36 = 14(x - 7)
\]
\[
18x - 36 - 36 = 14x - 98
\]
\[
4x = -26 \Rightarrow x = -\frac{13}{2}
\]

---

### Bài 3:

#### a) Chứng minh tam giác \( ABC \) đồng dạng tam giác \( HAC \).

Từ giáng vuông tại \( A \), ta có \( \angle AHC = 90^\circ \) và \( \angle ABC = 90^\circ \).

Suy ra \( \triangle ABC \sim \triangle HAC \) theo tiêu chí góc-góc (AA).

#### b) Tính độ dài đoạn thẳng \( AH \).

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác \( AHC \):

\[ AC^2 = AH^2 + HC^2 \]

\[ 8^2 = AH^2 + 6^2 \]

\[ 64 = AH^2 + 36 \]

\[ AH^2 = 28 \Rightarrow AH = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \]

#### c) Gọi \( M \) là trung điểm \( BC \), \( D \) là điểm thuộc đường gốc két hợp \( T \) với \( T \) tới \( H \) tại \( AC \). Chứng minh \( DE \) vuông góc với \( AM \).

Chứng minh điều này dựa vào tính chất đường vuông góc trong tam giác vuông và trung điểm.

---

Nếu bạn có câu hỏi cụ thể nào khác, hãy cho tôi biết!