Để chứng minh rằng \( p^2 - 1 = 24k \) với \( p \) là số nguyên tố lớn hơn 3, ta có thể thực hiện như sau:

1. **Biến đổi biểu thức**:
\[
p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)
\]
Thấy rằng \( p - 1 \) và \( p + 1 \) là hai số liên tiếp với \( p \), nên chúng cách nhau một khoảng 2.

2. **Chia từng số theo dạng đơn giản**:
- Trong hai số liên tiếp \( p - 1 \) và \( p + 1 \), một trong số đó sẽ chia hết cho 2 (vì là số chẵn).
- Cả hai số này cũng sẽ có ít nhất một số chia hết cho 4. Điều này bởi vì một trong số chúng là số chẵn và nếu \( p \) không chia hết cho 3, thì một trong số \( p - 1, p + 1 \) phải chia hết cho 3 (theo lý thuyết số).

3. **Tổng hợp thông tin**:
- Số \( (p - 1)(p + 1) \) có ít nhất một nhân tử chia hết cho 4 (chẵn) và một nhân tử chia hết cho 2 (kết quả là chia hết cho ít nhất là \( 2^3 = 8 \)).
- Cả hai cũng sẽ có ít nhất một trong số chúng chia hết cho 3.

4. **Chứng minh có thể chia hết cho 24**:
- Ở bước trước, ta đã thấy rằng \( (p - 1)(p + 1) \) chia hết cho 8 và cũng chia hết cho 3.
- Do đó, \( (p - 1)(p + 1) \) sẽ chia hết cho \( 8 \times 3 = 24 \).

Tóm lại, ta có:
\[
p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1) = 24k \quad \text{với } k \text{ là một số nguyên.}
\]
Điều này chứng tỏ rằng phương trình đã nhận dạng.