Để giải các bất phương trình trong bài, ta sẽ thực hiện từng ý một.

### Câu 1:

#### a) Giải bất phương trình:
\[
(3x + 1)(x + 2) > x(3x - 2) + 1
\]

**Bước 1:** Tính biểu thức bên trái và bên phải.

- Bên trái:
\[
(3x + 1)(x + 2) = 3x^2 + 6x + x + 2 = 3x^2 + 7x + 2
\]

- Bên phải:
\[
x(3x - 2) + 1 = 3x^2 - 2x + 1
\]

**Bước 2:** Thiết lập bất phương trình:
\[
3x^2 + 7x + 2 > 3x^2 - 2x + 1
\]

**Bước 3:** Rút gọn:
\[
7x + 2 > -2x + 1
\]
\[
7x + 2x > 1 - 2
\]
\[
9x > -1
\]
\[
x > -\frac{1}{9}
\]

#### b) Giải bất phương trình:
\[
2x(x + 1) + 3 < x(2x + 5) - 7
\]

**Bước 1:** Tính biểu thức bên trái và bên phải.

- Bên trái:
\[
2x(x + 1) + 3 = 2x^2 + 2x + 3
\]

- Bên phải:
\[
x(2x + 5) - 7 = 2x^2 + 5x - 7
\]

**Bước 2:** Thiết lập bất phương trình:
\[
2x^2 + 2x + 3 < 2x^2 + 5x - 7
\]

**Bước 3:** Rút gọn:
\[
2x + 3 < 5x - 7
\]
\[
3 + 7 < 5x - 2x
\]
\[
10 < 3x
\]
\[
x > \frac{10}{3}
\]

---

### Câu 2:

Giải bất phương trình:
\[
(x^2 + 1)(6 - 3x) > 0
\]

- \(x^2 + 1\) luôn dương với mọi giá trị x.
- Xét dấu \(6 - 3x\):
- \(6 - 3x > 0 \Rightarrow x < 2\)

Do đó, bất phương trình \( (x^2 + 1)(6 - 3x) > 0 \) có nghiệm là:
\[
x < 2
\]

---

### Câu 3:

Giải bất phương trình:
\[
(-2024x^2 - 1)(-10 - 2x) < 0
\]

**Bước 1:** Xét từng phần:
- \(-2024x^2 - 1 < 0\) luôn đúng (vì tổng của hai số âm).
- \(-10 - 2x < 0 \Rightarrow 2x > -10 \Rightarrow x > -5\)

**Bước 2:** Kết hợp lại, ta tìm được nghiệm là:
\[
x > -5
\]

---

**Tóm tắt nghiệm:**
- Câu 1:
a) \(x > -\frac{1}{9}\)
b) \(x > \frac{10}{3}\)
- Câu 2: \(x < 2\)
- Câu 3: \(x > -5\)