Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, M là điểm trên nửa đường tròn. Vẽ MH vuông góc với AB tại H. Qua B dựng tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất về hình học trong nửa đường tròn và các điểm tương ứng.

### a) Chứng minh OK // AM

1. **Lập lại các điểm và tính chất cần thiết:**
- Cho nửa đường tròn (O) với đường kính AB. Gọi I là trung điểm của AB.
- M là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn (O).
- MH vuông góc với AB tại H (tức là H là điểm chiếu của M lên đường thẳng AB).
- Qua B, chúng ta dựng một tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn tại B.

2. **Tính chất vuông góc:**
- Bởi vì MH vuông góc với AB, nên góc BMH sẽ bằng 90 độ.
- Do tiếp tuyến Bx vuông góc với bán kính OB tại B, nên cũng có góc OMB bằng 90 độ.

3. **Chứng minh tính song song:**
- Xét tam giác OMB:
- Ta có góc OMB = 90 độ và góc BMH cũng bằng 90 độ.
- Đồng thời, góc OMB = góc MBH (cùng phụ với góc BMH).
- Vậy từ việc OMB có góc giữa hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau, suy ra OK // AM.

### b) Chứng minh AK qua trung điểm I của MH

1. **Xét trung điểm I của MH:**
- I là trung điểm của đoạn MH, vậy ta có \(IH = IM\).

2. **Các tính chất liên quan đến K:**
- K là điểm cắt của đường thẳng vuông góc từ O đến MB với tiếp tuyến Bx tại B.
- Vì OK vuông góc với MB (vì nó là đường vuông góc từ O đến MB), nghĩa là O-I-K cùng nằm trong một mặt phẳng.

3. **Chứng minh AK đi qua I:**
- Ta có tam giác OMB, trong đó OK vuông góc với MB.
- Vì I là trung điểm của MH, và AK nối điểm A với K. AK tạo thành một đường thẳng từ A qua I (mà chúng ta đã chứng minh ở trên OK // AM).
- Do đó, do tính chất đường thẳng và giao điểm, ta có điểm I nằm trên AK.

Vậy nên ta đã hoàn thành việc chứng minh rằng OK // AM và AK đi qua trung điểm I của MH.