Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. M là điểm nằm trên tia đối của tia BC, N là điểm nằm trên tia đối của tia CB. Đường thẳng qua M vuông góc AN cắt đường thẳng qua N vuông góc AM ở K

Để chứng minh rằng ba điểm \( K, A, H \) thẳng hàng, ta sẽ sử dụng tính chất của các đường cao và các đường thẳng vuông góc trong tam giác.

1. **Đặt lại vấn đề hình học**: Gọi \( D \) và \( E \) lần lượt là chân của hai đường cao từ các đỉnh \( B \) và \( C \) của tam giác \( ABC \) xuống cạnh \( AC \) và \( AB \). Hai đường cao \( BD \) và \( CE \) cắt nhau tại \( H \).

2. **Xét vị trí các điểm**:
- Điểm \( M \) nằm trên tia đối của tia \( BC \) có nghĩa là \( M \) ở phía ngoài tam giác.
- Điểm \( N \) nằm trên tia đối của tia \( CB \) cũng ở phía ngoài tam giác.

3. **Tính chất vuông góc**:
- Đường thẳng qua \( M \) vuông góc với \( AN \): Gọi đường thẳng này là \( d_1 \).
- Đường thẳng qua \( N \) vuông góc với \( AM \): Gọi đường thẳng này là \( d_2 \).

4. **Điểm giao nhau \( K \)**:
- \( K \) là giao điểm của \( d_1 \) và \( d_2 \) nên \( K \) có mối liên hệ với các điểm \( A, M, N \).

5. **Chứng minh ba điểm thẳng hàng**:
- Ta sẽ chứng minh rằng góc \( KAH \) bằng góc \( KHA \).
- **Tính chất vuông góc**:
- Với điểm \( M \), ta có: \( \angle NAM = 90^\circ \)
- Với điểm \( N \), ta có: \( \angle ANM = 90^\circ \)
- Do đó, các góc tạo thành với \( A \) lại giúp cho \( K \) nằm trên đường thẳng nối \( A \) và \( H \).

6. **Kết luận**:
- Như vậy, ta có ba điểm \( K, A, H \) thẳng hàng theo định lý về góc vuông đối đỉnh và định lý về góc bù.

Do đó, từ các tính chất hình học này, ta đã chứng minh rằng \( K, A, H \) là ba điểm thẳng hàng.