Để xác định đường thẳng đi qua điểm \( A(4, 3) \) và cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên dương, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là một số nguyên tố, ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Dạng phương trình đường thẳng**: Phương trình đường thẳng có dạng:
\[
y - y_0 = m(x - x_0)
\]
với \( (x_0, y_0) = (4, 3) \) và \( m \) là hệ số góc.

2. **Tìm điểm cắt với trục tung (y-axis)**: Khi \( x = 0 \), ta có:
\[
y - 3 = m(0 - 4) \Rightarrow y = 3 - 4m
\]
Để cắt trục tung tại điểm có tung độ là số nguyên dương, ta cần:
\[
3 - 4m > 0 \Rightarrow 4m < 3 \Rightarrow m < \frac{3}{4}
\]
Đồng thời, \( 3 - 4m \) phải là số nguyên.

3. **Tìm điểm cắt với trục hoành (x-axis)**: Khi \( y = 0 \), ta có:
\[
0 - 3 = m(x - 4) \Rightarrow x = 4 - \frac{3}{m}
\]
Hoành độ này phải là một số nguyên tố.

4. **Lựa chọn các giá trị của \( m \)**: Chọn \( m \) phù hợp sao cho \( 3 - 4m \) là số nguyên dương và \( 4 - \frac{3}{m} \) là số nguyên tố.

### Ví dụ
- Chọn \( m = 0 \):
- Cắt trục tung tại \( y = 3 \) (số nguyên dương).
- Cắt trục hoành tại \( x = 4 \) (không phải là số nguyên tố).

- Chọn \( m = \frac{1}{4} \):
- Cắt trục tung tại \( y = 2 \) (số nguyên dương).
- Cắt trục hoành tại \( x = 9 \) (là số nguyên tố).

### Kết luận
Một ví dụ cho đường thẳng thoả mãn yêu cầu trên là:
- Đường thẳng có phương trình \( y = \frac{1}{4}(x - 4) + 3 \), cắt trục tung tại \( (0, 2) \) và cắt trục hoành tại \( (9, 0) \).