Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt trả lời từng phần một.

### a) Tứ giác ABOC là hình gì? Vì sao?

Tứ giác ABOC là hình chữ nhật.

**Giải thích:**
1. Do BC vuông góc với OA tại trung điểm của OA, tức là chúng ta có hai đường thẳng vuông góc cắt nhau.
2. Bởi vì O là tâm của đường tròn và A, B, C đều nằm trên đường tròn, nên OA, OB, OC là các bán kính của đường tròn.
3. Tính chất của hình chữ nhật là có 4 góc vuông. Do BC vuông góc với OA tại O, và OA là đường chéo của tứ giác ABOC, từ đó suy ra rằng tứ giác ABOC có 4 góc vuông.

### b) Tam giác BCD là hình gì? Vì sao?

Tam giác BCD là tam giác vuông.

**Giải thích:**
1. Từ O là tâm của đường tròn, BA và OC là các bán kính của đường tròn.
2. BC vuông góc với OA, và OA là đường chéo của tam giác BCD.
3. Do đó, góc BOC là góc vuông (90 độ), nghĩa là tam giác BCD có một góc vuông tại O.

### c) Cho OA = R. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABD theo R.

**Giải thích:**

1. OA là bán kính của đường tròn, do đó OA = R.
2. Từ các thông tin đã cho, ta biết rằng O là trung điểm của AD và OA = R, do đó OD = OA = R.
3. Tứ giác ABOC là hình chữ nhật, từ đó ta có:
- AB = OC (được tính bằng bán kính R) và BC = AO = R, do B nằm trên đường tròn và B ở trên dây BC.
4. Tính cạnh AD:
- AD = AO + OD = R + R = 2R
5. Do đó, trong tam giác ABD:
- AB = R
- AD = 2R
- BD (cạnh còn lại) sẽ được tính bằng định lý Pythagore:
\[
BD^2 = AB^2 + AD^2 = R^2 + (2R)^2 = R^2 + 4R^2 = 5R^2 \implies BD = R\sqrt{5}
\]

### Kết quả:

- Các cạnh của tam giác ABD theo R là:
- AB = R
- AD = 2R
- BD = R√5