Dựng điểm m trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc mox = alpha, biết rằng

Để dựng điểm \( m \) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc \( \angle mOx = \alpha \), bạn có thể làm như sau:

**a) Khi \( \sin \alpha = \frac{1}{4} \)**

1. Tính giá trị của \( \cos \alpha \) bằng cách sử dụng định lý Pythagore:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \\
\left( \frac{1}{4} \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \\
\frac{1}{16} + \cos^2 \alpha = 1 \\
\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \\
\cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}
\]

2. Tùy vào việc xác định góc \( \alpha \) có thuộc phần nào của mặt phẳng (góc dương hay âm), bạn sẽ chọn dấu của \( \cos \alpha \). Nếu \( \alpha \) trong khoảng từ \( 0 \) đến \( \frac{\pi}{2} \), chọn dấu dương.

3. Điểm \( m \) trên nửa đường tròn đơn vị có tọa độ:
\[
m \left( \cos \alpha, \sin \alpha \right) = \left( \pm \frac{\sqrt{15}}{4}, \frac{1}{4} \right)
\]

**b) Khi \( \tan \alpha = -\frac{3}{4} \)**

1. Tính \( \sin \alpha \) và \( \cos \alpha \):
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\frac{3}{4}
\]
Giả sử \( \sin \alpha = -3k \) và \( \cos \alpha = 4k \). Do đó,
\[
(-3k)^2 + (4k)^2 = 1 \\
9k^2 + 16k^2 = 1 \\
25k^2 = 1 \\
k^2 = \frac{1}{25} \\
k = \pm \frac{1}{5}
\]

2. Do \( \tan \alpha < 0 \) nên một trong hai giá trị dương và âm cần làm sao cho tỉ lệ chiều dương và âm:
\[
\sin \alpha = -\frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{5}
\]

3. Tọa độ điểm \( m \):
\[
m \left( \cos \alpha, \sin \alpha \right) = \left( \frac{4}{5}, -\frac{3}{5} \right)
\]

Tóm lại:

- **Đối với \( \sin \alpha = \frac{1}{4} \)**, tọa độ của \( m \) có thể là \( m \left( \frac{\sqrt{15}}{4}, \frac{1}{4} \right) \) hoặc \( m \left( -\frac{\sqrt{15}}{4}, \frac{1}{4} \right) \).
- **Đối với \( \tan \alpha = -\frac{3}{4} \)**, tọa độ của \( m \) là \( m \left( \frac{4}{5}, -\frac{3}{5} \right) \).