### Bài 1:

#### a) Giải phương trình:
\[
\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{5}{12} + 1
\]

Thực hiện các bước sau đây:

1. Chuyển biểu thức bên phải về dạng phân số:
\[
1 = \frac{12}{12} \Rightarrow \frac{5}{12} + 1 = \frac{5 + 12}{12} = \frac{17}{12}
\]
Vậy ta có:
\[
\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{17}{12}
\]

2. Áp dụng quy tắc nhân chéo:
\[
12(x + 1) = 17(x - 2)
\]

3. Giải phương trình:
\[
12x + 12 = 17x - 34 \Rightarrow 34 + 12 = 17x - 12x \Rightarrow 46 = 5x
\]
\[
x = \frac{46}{5} = 9.2
\]

---

#### b) Giải phương trình:
\[
|x + 6| - |x - 3| = 3
\]

Phương pháp giải:

1. Xét các trường hợp cho giá trị của \(x\):

- **TH1:** \(x + 6 \geq 0\) và \(x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -6\) và \(x \geq 3\):
\[
(x + 6) - (x - 3) = 3 \Rightarrow 6 + 3 = 3 \Rightarrow 9 = 3 \quad \text{(vô lý)}
\]

- **TH2:** \(x + 6 \geq 0\) và \(x - 3 < 0 \Rightarrow -6 \leq x < 3\):
\[
(x + 6) + (3 - x) = 3 \Rightarrow 9 = 3 \quad \text{(vô lý)}
\]

- **TH3:** \(x + 6 < 0\) và \(x - 3 < 0 \Rightarrow x < -6\):
\[
-(x + 6) + (3 - x) = 3 \Rightarrow -x - 6 + 3 - x = 3 \Rightarrow -2x - 3 = 3
\]
\[
-2x = 6 \Rightarrow x = -3
\]

- **TH4:** Giá trị của \(x = -3\) không nằm trong miền xác định của TH3.

---

#### c) Giải bất phương trình:
\[
\frac{2 + \frac{3}{10}}{\frac{3}{4}} < x
\]

Giải bất phương trình:

1. Tính giá trị:
\[
2 + \frac{3}{10} = \frac{20}{10} + \frac{3}{10} = \frac{23}{10}
\]
\[
\frac{23}{10} \cdot \frac{4}{3} = \frac{92}{30} = \frac{46}{15}
\]

2. Bất phương trình trở thành:
\[
x > \frac{46}{15}
\]

---

### Bài 2:

Tính chiều dài quãng đường từ Thanh Hóa đến Hà Nội.

1. Ô tô đi từ Thanh Hóa đến Hà Nội với tốc độ 40 km/h trong 2 giờ 15 phút:
\[
2.25 \, \text{h}
\]
\[
d = v \cdot t = 40 \cdot 2.25 = 90 \, \text{km}
\]

2. Ô tô quay về với tốc độ 30 km/h:
\[
t = \frac{90}{30} = 3 \, \text{h}
\]

---

### Bài 3:

Chi tiết hình học:

1. Chứng minh \(\triangle AHB\) đồng dạng \(\triangle ABC\):
- Hai tam giác đều có góc vuông với cạnh corresponding.

2. Tính \(BC\) và \(BH\):
- \(BC = AB\) và \(BH = AH\).

3. Gọi \(I\) và \(K\) là đường thẳng vuông góc của điểm \(H\) lên cạnh \(AB\) và \(AC\):
- Chứng minh \(AI = AK = AC\) theo định nghĩa hình thang.

Hy vọng các bước trên giúp bạn hiểu hơn về cách giải các bài toán đã nêu.