Cho tam giác ABC vuông cân tại A có ba đỉnh A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Qua B kẻ tiếp tuyến a với đường tròn tâm O. Chứng minh OA // a. Kẻ Ox // AC, Oy // AB; tia Ox, Oy thứ tự cắt a tại M, N. Chứng minh BC là đường trung trực của MN

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán với tam giác ABC vuông cân tại A, ta tiến hành từng bước như sau:

### a) Chứng minh OA // a

1. **Tính chất tiếp tuyến**: Từ định nghĩa, một tiếp điểm của tiếp tuyến (ở đây là B) với đường tròn tại điểm này luôn vuông góc với bán kính đi từ tâm đường tròn (tâm O) đến tiếp điểm (B). Do đó, chúng ta có:
\[
OB \perp a
\]

2. **Tam giác vuông**: Tam giác ABC vuông cân tại A có các đỉnh trên đường tròn ngoại tiếp (tâm O). Do đó, OA là bán kính của đường tròn.

3. **Tính chất vuông góc**: Vì OB vuông góc với a, và OA là bán kính ở B, ta có:
\[
OA \perp OB
\]
Nên OA // a, vì OA và a cùng vuông góc với OB.

### b) Chứng minh BC là đường trung trực của MN

1. **Kẻ Ox // AC và Oy // AB**: Gọi Ox là đường thẳng song song với AC, và Oy là đường thẳng song song với AB. Như vậy, Ox và Oy sẽ cắt tiếp tuyến a tại các điểm M và N (tương ứng) trên a.

2. **Hệ tọa độ**: Ta có thể đặt hệ tọa độ với A(0, 0), B(a, 0), và C(0, a) trong mặt phẳng. Theo đó, O (tâm đường tròn) sẽ có tọa độ:
\[
O\left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2} \right)
\]

3. **Tọa độ của M, N**:
- M nằm trên tiếp tuyến a, nên nó có tọa độ (x_M, 0)
- N nằm trên tiếp tuyến a, nên nó có tọa độ (0, y_N)

4. **Điều kiện của BC đối với MN**:
- Đường thẳng BC có phương trình y = -x + a (x và y đều bằng nhau với độ lệch âm).

5. **Xét tỷ lệ**:
- Tâm đường thẳng BC xác định trung điểm giữa MN. Ta có:
- Giả thiết M, N cắt nhau và BC chia đều khoảng cách từ M đến N
- Gọi D là trung điểm của MN, ta kiểm tra tọa độ D:
\[
D = \left( \frac{x_M + 0}{2}, \frac{0 + y_N}{2} \right)
\]

6. **Tính chất cân**: Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân, BC sẽ là đường trung trực của đoạn thẳng MN bởi vì cả Ox // AC và Oy // AB dẫn đến D nằm trên BC.

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng:
- OA // a do tính chất của tiếp tuyến.
- BC là đường trung trực của MN dựa trên tính chất của trung điểm.

Hy vọng phần chứng minh đưa ra trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán này!