Để chứng minh bốn điểm \(B\), \(F\), \(E\), \(C\) thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và các góc.

### Chứng minh:

1. **Xác định các điểm:**
- Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
- \(BE\) và \(CF\) là các đường cao của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại điểm \(H\).

2. **Tính chất góc:**
- Ta có \(\angle BAE = 90^\circ\) (do \(BE\) là đường cao).
- Tương tự, \(\angle CAF = 90^\circ\) (do \(CF\) là đường cao).

3. **Góc tại \(H\):**
- Xét góc \(BHF\). Do \(H\) là giao điểm của hai đường cao \(BE\) và \(CF\), ta có:
\[
\angle BHF = \angle BAE + \angle CAF = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]
- Suy ra, điểm \(H\) nằm trên đường tròn tâm \(O\) đi qua các điểm \(B\), \(E\), \(C\), \(F\), vì tổng các góc tại \(H\) là \(180^\circ\).

4. **Kết luận:**
- Vậy, bốn điểm \(B\), \(F\), \(E\), \(C\) thuộc một đường tròn.

### Chứng minh phần b:

Để chứng minh \(EF < BC\):

1. **Sử dụng tam giác:**
- Xét tam giác \(BHC\). Ta có:
\[
EH < BH \quad \text{và} \quad FH < CH
\]
- Do đó, theo định lý tam giác, ta có:
\[
EF < BC
\]

### Kết luận chung:
Hai phần b chứng minh rằng bốn điểm \(B\), \(F\), \(E\), \(C\) thuộc một đường tròn và \(EF < BC\).