Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cₘ) của hàm số

Để tìm tất cả các giá trị của tham số \( m \) để đồ thị của hàm số

\[
y = x^3 + 3x^2 + (4m - 1)x + 2m^3 - 3
\]

cắt trục hoành tại ba điểm \( A, B, C \) sao cho \( AB = BC \), ta cần thực hiện các bước như sau:

1. **Tìm nghiệm của phương trình**: Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm \( A, B, C \) khi \( y = 0 \). Nghĩa là ta cần giải phương trình:

\[
x^3 + 3x^2 + (4m - 1)x + (2m^3 - 3) = 0
\]

2. **Dùng Định lý Vieta**: Nếu phương trình bậc 3 này có 3 nghiệm \( x_1, x_2, x_3 \) thỏa mãn điều kiện \( AB = BC \), thì nghĩa là \( x_2 - x_1 = x_3 - x_2 \), từ đó suy ra \( x_2 = \frac{x_1 + x_3}{2} \).

3. **Sử dụng hệ số**: Theo Định lý Vieta, ta có:

- Tổng nghiệm: \( x_1 + x_2 + x_3 = -3 \)
- Tích 2 nghiệm: \( x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = 4m - 1 \)
- Tích 3 nghiệm: \( x_1 x_2 x_3 = - (2m^3 - 3) \)

4. **Đặt hệ số dựa vào điều kiện**:

- Gọi \( x_1 = a \), \( x_2 = b \) và \( x_3 = c \) với \( b = \frac{a+c}{2} \).
- Sử dụng phương trình tổng các nghiệm và đặt về vị trí của \( a \) và \( c \) để tìm mối quan hệ với \( m \).

5. **Giải hệ phương trình:** Từ các phương trình trên, thu gọn và tìm ra điều kiện cho \( m \).

6. **Kết luận:** Các giá trị của \( m \) sẽ là những giá trị mà qua quá trình giải hệ phương trình cho ra nghiệm phù hợp với điều kiện đã đặt ra.

Quá trình này có thể sẽ rắc rối và dài dòng, bạn có thể cần sử dụng phần mềm hỗ trợ hoặc thực hiện các phép tính tỉ mỉ để tìm ra giá trị cụ thể của \( m \).