Để chứng minh rằng điểm A, E, J thẳng hàng trong tam giác vuông ABC với A là đỉnh vuông, và các điểm E, I, K lần lượt là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC, ABH, ACH, chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Gọi tọa độ**:
- Gọi A(0, 0) là đỉnh vuông.
- Gọi B(b, 0) và C(0, c) là các đỉnh còn lại.
- Đường cao AH từ A đến BC sẽ cắt BC tại điểm H.

2. **Tìm tọa độ của H**:
- H là giao điểm của BC và đường thẳng vuông góc đi qua A.
- Tọa độ của H có thể được tính dựa trên công thức về độ dốc của đường thẳng.

3. **Giao điểm các đường phân giác**:
- Điểm E là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác ABC. Tọa độ của E có thể được tính dựa vào công thức xác định của các đường phân giác.
- Điểm I là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác ABH, và K là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác ACH.

4. **Kẻ EJ vuông góc IK**:
- Tính độ dốc của đoạn nối E và J, cũng như IK. Chúng ta cần chứng minh rằng độ dốc của EJ là −1 nhân với độ dốc của IK.

5. **Chứng minh A, E, J thẳng hàng**:
- Để chứng minh A, E, J thẳng hàng, cần chỉ ra rằng độ dốc của đoạn thẳng AE và EJ bằng nhau.
- Điều này có thể thực hiện thông qua việc kiểm tra tọa độ của các điểm này và tính toán độ dốc của các đoạn thẳng.

6. **Kết luận**:
- Khi chứng minh rằng độ dốc của các đoạn thẳng này là bằng nhau, chúng ta có thể kết luận rằng A, E, J thẳng hàng.

Thông qua các bước chứng minh trên, chúng ta đã hoàn thành yêu cầu chứng minh rằng A, E, J là ba điểm thẳng hàng.