Để tính giá trị của biểu thức này, ta có thể phân tích và đơn giản hóa từng phần.

### Bước 1: Phân tích biểu thức

**Biểu thức:**

\[
\frac{(-2)^{10} \cdot 3^{31} + 2^{40} \cdot (-3)^{6}}{(-2)^{11} \cdot (-3)^{31} + 2^{41} \cdot 3^{6}}
\]

### Bước 2: Tính từng phần của tử

1. **Tử (phân số trên)**:
- \((-2)^{10} = 1024\)
- \(3^{31}\) (không tính cụ thể, giữ nguyên)
- \(2^{40} \cdot (-3)^{6} = 2^{40} \cdot 729\) (vì \((-3)^6 = 729\))

Vậy tử sẽ trở thành:
\[
1024 \cdot 3^{31} + 2^{40} \cdot 729
\]

2. **Mẫu (phân số dưới)**:
- \((-2)^{11} = -2048\)
- \((-3)^{31}\) (không tính cụ thể, giữ nguyên)
- \(2^{41} \cdot 3^{6} = 2^{41} \cdot 729\)

Mẫu sẽ là:
\[
-2048 \cdot (-3)^{31} + 2^{41} \cdot 729
\]

### Bước 3: Thay các giá trị vào biểu thức và tính tiếp

1. **Tử**:
\[
= 1024 \cdot 3^{31} + 2^{40} \cdot 729
\]

2. **Mẫu**:
\[
= 2048 \cdot 3^{31} + 2^{41} \cdot 729
\]

### Bước 4: Rút gọn biểu thức

Ta thấy rằng tử và mẫu đều có thể đứng ra bởi các yếu tố chung:
- Có thể rút gọn thành các yếu tố chứa \(3^{31}\) và \(729\) (định tâm đến \(2^{40}\) và \(2^{41}\)).

### Bước 5: Tính giá trị cuối cùng

Giá trị cuối cùng có thể được tính nhưng sẽ phức tạp nếu không có giá trị cụ thể của \(3^{31}\) và \(2^{40}\).

Đối với việc tính toán đơn giản, nếu ta cần một số cụ thể rõ ràng, có thể tìm trị số gần đúng cho \(3^{31}\) và \(2^{40}\) và thực hiện phép tính.

Nhưng nếu bạn chỉ cần giá trị tổng quát, yêu cầu có thể viết lại như sau và kết luận:
\[
\text{Kết quả } = \text{biểu thức đã đơn giản hóa}
\]

Nếu bạn muốn biết rõ hơn về trị số cụ thể hoặc một phương pháp khác, xin hãy cho biết thêm.