Để phân tích các đa thức thành nhân tử, ta có thể sử dụng một số phương pháp như nhận dạng các công thức đáng nhớ, phân tích bậc cao, hay tìm kiếm các yếu tố chung. Dưới đây là phân tích cho từng đa thức đã cho:

### a) \( 125x^3 - 1 \)
Đây là một biểu thức có dạng \( a^3 - b^3 \), với \( a = 5x \) và \( b = 1 \). Theo công thức hạng nhất, ta có:
\[
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
\]
Áp dụng vào biểu thức này:
\[
125x^3 - 1 = (5x - 1)((5x)^2 + (5x)(1) + 1^2) = (5x - 1)(25x^2 + 5x + 1)
\]

### b) \( 4x^2 + 12y + 9y^2 \)
Đầu tiên, ta có thể sắp xếp lại biểu thức:
\[
4x^2 + 9y^2 + 12y
\]
Nhận thấy rằng \( 9y^2 + 12y \) có thể được viết dưới dạng:
\[
9y^2 + 12y = 9y(y + \frac{4}{3})
\]
Tuy nhiên, ta có thể sử dụng phương pháp nhóm:
\[
= 4x^2 + 9(y^2 + \frac{4}{3}y)
\]
Nhưng biểu thức này không dễ dàng khai thác thành nhân tử hơn. Ta thử phương pháp:
\[
= (2x + 3y)^2
\]
Kiểm tra lại:
\[
(2x + 3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2
\]
Vì vậy:
\[
4x^2 + 12y + 9y^2 = (2x + 3y)^2
\]

### c) \( 27x^2y + 9y^2 + y^3 \)
Chúng ta có thể sắp xếp lại như sau:
\[
27x^2y + 9y^2 + y^3 = 9y(3x^2 + y + \frac{1}{3}y^2)
\]
Thử công thức \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) nhưng có thể không đơn giản. Ta có thể nhận ra rằng biểu thức này có thể được nhóm lại:
\[
= 9y(3x^2 + (y + y^2))
\]
Kiểm tra:
Ta nhận thấy:
\[
y(9(3x^2 + y + \frac{1}{3}y^2)) \Rightarrow \text{không khai thác tiếp}
\]

Một cách khác là nhận ra rằng:
\[
= (3x+y)(3x+3y) \text{ hoặc } (3x + y)(3y + 1)
\]

### Kết luận
1. \( 125x^3 - 1 = (5x - 1)(25x^2 + 5x + 1) \)
2. \( 4x^2 + 12y + 9y^2 = (2x + 3y)^2 \)
3. \( 27x^2y + 9y^2 + y^3 = 9y(3x^2 + y + y^2) \) (hoặc thử nghiệm thêm)

Bạn có thể lựa chọn cách phân tích tùy thuộc vào yêu cầu bài toán cụ thể!