Cho ΔABC vuông tại A, AB ≤ AC, AH là đường cao, AQ là đường phát triển giới hạn và H, P, K thẳng hàng. Chứng minh: AH = HB.HC và ABAD là tam giác vuông cân. ΔAPH b) BD cắt AH ở O, cắt AQ ở P. C/m: ΔOQP vuông cân. c) Chứng minh: ΔOPQ ..

Để chứng minh các kết luận trong bài toán về tam giác vuông ΔABC, ta thực hiện từng phần như sau:

### a) Chứng minh \( AH^2 = HB \cdot HC \) và tam giác \( ABAD \) là tam giác vuông cân.

Từ định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:

\[
AH^2 = HB \cdot HC
\]

Để chứng minh \( ABAD \) là tam giác vuông cân:

- Xét tam giác \( ABAD \) với \( AB = AD \) (do AB và AD đều là cạnh của tam giác vuông).
- Tam giác \( ABH \) vuông tại H, với \( AH \) là đường cao (có nghĩa là \( AH \perp AB \)).
- Do đó, \( AB = AH \), \( AD = AH \).

Vì vậy, \( ABAD \) là tam giác vuông cân.

### b) Chứng minh ΔOQP vuông cân.

Xét điểm O là giao điểm của BD và AH, và P là giao điểm của BD và AQ.

Vì \( AQ \) là đường phân giác của tam giác \( ABC \), nên \( \frac{AO}{OP} = \frac{AB}{AC} \), và thông qua định lý đường phân giác ta có:

- \( AP = AQ \)

Vì điểm H là chân đường cao, đây là những đường thẳng vuông góc trong tam giác, nên ta có:

\[
\angle OQP = 90^\circ
\]

Do đó, ΔOQP là tam giác vuông cân với \( OQ = OP \).

### c) Chứng minh ΔOPQ vuông cân.

Ta đã thiết lập được rằng ΔOQP vuông tại O (với \( O \) là giao điểm của BD và AH, và \( P \) là giao điểm của BD và AQ) và đã chứng minh rằng \( OP = OQ \).

Vì vậy, ΔOPQ là tam giác vuông cân.

Tổng kết lại, ta đã sử dụng tính chất của đường cao và đường phân giác, từ đó xác định được các tỉ lệ cạnh và mối quan hệ giữa các điểm trong tam giác để hoàn thành bài toán.