Để giải bài toán, ta gọi số có hai chữ số là \( XY \), trong đó \( X \) là chữ số ở hàng chục và \( Y \) là chữ số ở hàng đơn vị.

1. **Tổng các chữ số**:
\[
X + Y = 9
\]

2. **Số tăng thêm 63 và thu được số có cùng một chữ số**: Ta có số ban đầu là \( 10X + Y \). Khi thêm 63, ta có:
\[
10X + Y + 63 = 11k \quad \text{(với k là chữ số nào đó)}
\]

Từ điều kiện này, ta suy ra:
\[
10X + Y + 63 = 10k + k = 11k
\]
\[
10X + Y = 11k - 63
\]

3. **Kết hợp hai điều kiện**: Thay \( Y = 9 - X \) vào phương trình trên:
\[
10X + (9 - X) = 11k - 63
\]
\[
9X + 9 = 11k - 63
\]
\[
9X = 11k - 72
\]
\[
X = \frac{11k - 72}{9}
\]

\( X \) phải là một số nguyên, do đó \( 11k - 72 \) phải chia hết cho 9.

4. **Tính giá trị của \( k \)**:
- \( 11k \equiv 72 \mod{9} \)
- Ta có \( 11 \equiv 2 \mod{9} \) và \( 72 \equiv 0 \mod{9} \), nên:
\[
2k \equiv 0 \mod{9}
\]
Điều này có nghĩa là \( k \) phải là bội của 9.

Các giá trị khả thi cho \( k \) là 0, 9, 18, ...

5. **Thay các giá trị của \( k \)**:
- Nếu \( k = 9 \):
\[
X = \frac{11 \cdot 9 - 72}{9} = \frac{99 - 72}{9} = \frac{27}{9} = 3
\]
Khi đó, \( Y = 9 - 3 = 6 \) và số là 36.

- Nếu \( k = 18 \):
\[
X = \frac{11 \cdot 18 - 72}{9} = \frac{198 - 72}{9} = \frac{126}{9} = 14 \quad \text{(không hợp lệ, vì \( X \) chỉ có thể từ 0 đến 9)}
\]

6. **Kiểm tra số tìm được**:
Số tìm được là 36, tổng các chữ số là \( 3 + 6 = 9 \) và khi thêm 63 ta có:
\[
36 + 63 = 99 \quad \text{(số này có chữ số giống nhau)}
\]

Vậy số đó là **36**.