Để chứng minh và tính toán các phần yêu cầu trong bài, ta sẽ làm theo từng bước như sau:

**a) Tam giác ABD là tam giác gì?**

Hình thoi có các cạnh đối diện bằng nhau và các cạnh liền kề cũng bằng nhau. Trong trường hợp này, ta có \( AB = BD = 10 \, \text{cm} \). Do đó, tam giác \( ABD \) có hai cạnh bằng nhau (cạnh \( AB \) và cạnh \( BD \)).

=> Tam giác \( ABD \) là tam giác cân.

---

**b) Tính số đo các góc của hình thoi ABCD**

Trong hình thoi, các góc đối diện bằng nhau và tổng của 4 góc trong tứ giác là \( 360^\circ \). Gọi góc \( \angle A \) và \( \angle C \) là một cặp góc đối diện, và \( \angle B \) và \( \angle D \) là cặp còn lại.

Vì tam giác \( ABD \) là tam giác cân, nên:

\[
\angle ABD = \angle ADB
\]

Gọi \( \angle ABD = \angle ADB = x \). Bây giờ, theo định lý tổng ba góc của tam giác, ta có:

\[
\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ
\]

Từ hình thoi, ta biết rằng \( \angle A = \angle C \) và \( \angle B = \angle D \). Gọi \( \angle A = \angle C = y \) và \( \angle B = \angle D = z \).

Ta có:

\[
2y + 2z = 360^\circ \implies y + z = 180^\circ
\]

Vì là hình thoi, nên các góc theo điều kiện tam giác cân có thể dễ dàng lấy ra là:

- \( \angle ABD + \angle ADB + \angle BAD = 180^\circ \)
- \( 2x + (180^\circ - 2x) = 180^\circ\)

=> Vậy:

\[
\angle A = \angle C = 90^\circ \quad \text{và} \quad \angle B = \angle D = 90^\circ
\]

---

**c) Tính AC**

Để tính độ dài \( AC \), sử dụng định lý Py-ta-gô trong tam giác vuông \( ABD \):

Ta có:

\[
AD^2 = AB^2 + BD^2
\]
\[
AD^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200
\]
\[
AD = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \text{ cm}
\]

Vì \( ABCD \) là hình thoi, \( AC \) là đường chéo dài. Sử dụng tính chất của hình thoi, chiều dài chéo \( AC \) sẽ được tính bằng \( AD \):

\[
AC = 10 \sqrt{2} \text{ cm}
\]

---

**d) Tính diện tích hình thoi ABCD**

Diện tích \( S \) của hình thoi được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \times AC \times BD
\]

Trong đó, \( AC = 10\sqrt{2} \, \text{cm} \) và \( BD = 10 \, \text{cm} \):

\[
S = \frac{1}{2} \times 10\sqrt{2} \times 10 = 50\sqrt{2} \, \text{cm}^2
\]

Tóm lại, ta đã chứng minh và tính toán các yêu cầu như sau:

a) Tam giác ABD là tam giác cân.
b) Các góc của hình thoi ABCD là \( 90^\circ \) cho tất cả các góc.
c) Độ dài \( AC = 10\sqrt{2} \text{ cm} \).
d) Diện tích hình thoi ABCD là \( 50\sqrt{2} \text{ cm}^2 \).