Tìm các số nguyên dương

Để tìm các số nguyên dương \( x \) và \( y \) sao cho \( x + y^2 + 1 \) chia hết cho \( xy \), ta có thể đặt biểu thức này dưới dạng:

\[
x + y^2 + 1 \equiv 0 \pmod{xy}
\]

Hoặc tương đương:

\[
x + y^2 + 1 = kxy
\]

với \( k \) là một số nguyên dương.

Ta có thể viết lại phương trình thành:

\[
x - kxy + y^2 + 1 = 0
\]

Tuy nhiên, để dễ dàng xử lý hơn, ta sẽ phân tích và thử một số giá trị cho \( x \) và \( y \).

### Thử một số giá trị cho \( x \) và \( y \)

#### 1. Khi \( y = 1 \)

\[
x + 1^2 + 1 = x + 2
\]

Ta có \( x + 2 \equiv 0 \pmod{x} \) hay \( x + 2 \) chia hết cho \( x \). Điều này luôn đúng với mọi \( x \). Do đó, với \( y=1 \), tất cả các số nguyên dương \( x \) đều là nghiệm.

#### 2. Khi \( y = 2 \)

\[
x + 2^2 + 1 = x + 4 + 1 = x + 5
\]

Ta cần kiểm tra điều kiện \( x + 5 \equiv 0 \pmod{2x} \). Điều này có nghĩa là:

\[
x + 5 = k(2x) \quad \Rightarrow \quad k = \frac{x + 5}{2x}
\]

Ta cần \( k \) là số nguyên, tương đương với \( x + 5 \) phải chia hết cho \( 2x \). Không có nguyên dương nào \( x \) thỏa mãn cho \( y = 2 \).

#### 3. Khi \( y = 3 \)

\[
x + 3^2 + 1 = x + 9 + 1 = x + 10
\]

Tương tự, ta có:

\[
x + 10 \equiv 0 \pmod{3x}
\]

Điều này cũng không sinh ra nghiệm cho mọi \( x \).

### Tổng quát và kết luận

Dựa trên các thử nghiệm, đối với \( y = 1 \), chúng ta tìm được tất cả các số nguyên dương cho \( x \) là nghiệm.

Dường như sẽ không có nghiệm cho các giá trị \( y > 1 \) mà làm cho \( x + y^2 + 1 \equiv 0 \pmod{xy} \) trở thành số nguyên dương.

Vậy nghiệm duy nhất là:

\[
(x, y) = (x, 1) \quad \text{với } x \text{ là số nguyên dương.}
\]