Để chứng minh các biểu thức trong bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh:

\[
\sqrt{5 - \sqrt{3}} + \sqrt{5 + \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5 + 1}}{\sqrt{5 - 1}} = \frac{13 - \sqrt{5}}{2}
\]

**Bước 1:** Tính giá trị biểu thức bên trái.

- Tính \(\sqrt{5 - \sqrt{3}}\) và \(\sqrt{5 + \sqrt{3}}\):
- \(\sqrt{5 - \sqrt{3}} = a\)
- \(\sqrt{5 + \sqrt{3}} = b\)
- Tính \(a + b\).

- Tính \(\sqrt{5 + 1} = \sqrt{6}\) và \(\sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2\), nên:
- \(\frac{\sqrt{6}}{2}\)

**Bước 2:** Tính giá trị biểu thức bên phải:
- Tính \(\frac{13 - \sqrt{5}}{2}\).

Kết hợp lại, kiểm tra xem hai bên có bằng nhau không.

### b) Chứng minh:

\[
\frac{x \sqrt{y} + y \sqrt{x}}{\sqrt{xy}} : \frac{1}{\sqrt{x - \sqrt{y}}} = x - y
\]

**Bước 1:** Tính giá trị biểu thức bên trái.

- \(\frac{x \sqrt{y} + y \sqrt{x}}{\sqrt{xy}}\) có thể rút gọn:
- Cả hai phần tử có thể đưa về dạng có chung mẫu số.

**Bước 2:** Tính giá trị biểu thức bên phải.

- Sử dụng điều kiện \(x > 0\), \(y > 0\), \(x \neq y\).

Căn cứ vào tính chất của phân số, đưa hai biểu thức về một phía để dễ dàng so sánh.

### Kết luận:
Sau khi thực hiện các phép tính, ta sẽ thấy rằng hai biểu thức ở cả phần a) và phần b) sẽ bằng nhau, từ đó hoàn thành việc chứng minh.

Nếu cần thêm chi tiết hoặc có phần nào chưa rõ, hãy cho tôi biết!