Để giải bài toán liên quan đến hình bình hành ABCD với các thông tin đã cho, chúng ta thực hiện từng phần một.

### a) Hình ABEF là hình gì?

- Hình ABEF là hình thang, cụ thể là hình thang vuông, vì:
- Điểm E là trung điểm của BC.
- Điểm F là trung điểm của AD.
- Vì AB là cạnh chung và AE // BF do hai cặp cạnh đối diện của hình bình hành là song song.

### b) Chứng minh AIEF là hình thang cân

Để chứng minh AIEF là hình thang, chúng ta sẽ chứng minh các cạnh AE và IF là song song và có độ dài ngang nhau:

- Từ E và F là trung điểm của các cạnh BC và AD, suy ra AE // BF.
- Với BI = BA (theo thông tin đề bài) và góc A = 60°, ta có:

\[
\text{Do đó,} \angle AIE = 60° \text{ và } \angle AEF = 60°
\]

- Từ đó, AE = IF (do I là điểm đối xứng của B qua A) và AIEF là hình thang cân với AE // IF và AE = IF.

### c) Chứng minh BICD là hình chữ nhật

Để chứng minh BICD là hình chữ nhật, ta cần chứng minh các góc tại các đỉnh B, I, C, D là góc vuông:

- Từ điều kiện AB = BI, do A và I nằm trên tia đối của BA cho thấy rằng:
- \(\angle AIB = 120°\) (vì \(\angle A = 60°\), và BI = BA)
- \(\angle AIB + \angle ABC = 120° + 60° = 180°\).

Mặt khác, trong hình bình hành, các cạnh đối diện là song song và bằng nhau. Suy ra:
\[
\angle AIB + \angle BCD = 180°, \text{ do đó } \angle BCD = 90°.
\]

### d) Tính góc AED

Thực hiện tính góc AED:

- Chúng ta biết AD // BC và E là trung điểm của BC.
Tên trong hình bình hành có góc A = 60°. Theo tính chất của hình bình hành:
- Từ những chứng minh ở trên, ta có \(\angle AED = \angle ABC + \angle A = 60° + 60° = 120°.\)

Tổng hợp lại:
- a) Hình ABEF là hình thang.
- b) Hình AIEF là hình thang cân.
- c) Hình BICD là hình chữ nhật.
- d) Góc AED là 120°.