Để xác định tập xác định của các hàm số đã cho, ta cần xem xét các điều kiện mà mỗi hàm số phải thỏa mãn.

### e) \( y = \frac{1}{\tan x - 1} \)

- Điều kiện: \( \tan x - 1 \neq 0 \) và \( \tan x \) không xác định tại \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \).
- Tập xác định: \( x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi \) (với \( k \in \mathbb{Z} \)) và \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \).

### f) \( y = \frac{3}{\cos^2 x - \sin^2 x} + \tan x \)

- Điều kiện: \( \cos^2 x - \sin^2 x \neq 0 \) và \( \tan x \) không xác định tại \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \).
- Tập xác định: \( x \neq \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \) và \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \).

### g) \( y = \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x} \)

- Điều kiện: \( \sin x \neq 0 \) và \( \cos x \neq 0 \).
- Tập xác định: \( x \neq k\pi \) và \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \) (với \( k \in \mathbb{Z} \)).

### h) \( y = \sqrt{\frac{2 - \sin x}{\cos x + 1}} \)

- Điều kiện: \( \cos x + 1 \neq 0 \) và \( 2 - \sin x \geq 0 \).
- Tập xác định: \( x \neq \pi + 2k\pi \) và \( \sin x \leq 2 \), luôn đúng.

### i) \( y = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin x}} \)

- Điều kiện: \( 1 - \sin x > 0 \), tức là \( \sin x < 1 \).
- Tập xác định: Không có ràng buộc về \( x \) khác ngoài \( x \neq \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \).

### j) \( y = \sqrt{\frac{\cos x + 4}{\sin x + 1}} \)

- Điều kiện: \( \sin x + 1 > 0 \) và \( \cos x + 4 \geq 0 \).
- Tập xác định: Luôn đúng với \( \sin x > -1 \) (do giới hạn của hàm sin) và \( \cos x + 4 \) luôn dương.

### Tóm lại:
- Tập xác định:
- e): \( x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi, x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \)
- f): \( x \neq \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}, x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \)
- g): \( x \neq k\pi, x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \)
- h): \( x \neq \pi + 2k\pi \)
- i): \( x \neq \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \)
- j): Không có ràng buộc.