Để giải bài toán trên, ta thực hiện như sau:

**a)** Tính số đo các góc của tam giác \(ABC\):
- Đầu tiên, nhận thấy rằng tam giác \(ABC\) có \( AB = 2R \), \(BC = R\), với \(B\) là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến \(d\) với đường tròn.
- Theo tính chất hình học, góc \(ABC\) sẽ bằng \(90^\circ\) do \(OB \perp d\) (vì là tiếp tuyến).
- Ta có thể áp dụng định lý Cosine để tìm các góc còn lại.

**b)** Tính độ dài \(BE\) theo \(R\):
- Ta có \(AB = 2R\) và \(BC = R\). Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \(OBC\):
\[
OC^2 = OB^2 + BC^2 \rightarrow OC = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}
\]
- Từ đó, độ dài \(BE\) có thể tính được dựa trên các góc đã tìm trong phần (a).

**c)** Gọi \(M\) là trung điểm của \(BE\):
- Do \(M\) là trung điểm, ta có \(BM = ME\).
- Để chứng minh \(MC\) là tiếp tuyến của \((O)\), ta cần chỉ ra rằng \(OM \perp MC\).
- Dễ dàng nhận thấy từ hình vẽ rằng \(OM\) sẽ là đường vuông góc với \(MC\) khi \(M\) nằm giữa \(B\) và \(E\).

Mong rằng hướng dẫn này giúp bạn làm rõ bài tập!