Để chứng minh biểu thức sau:

\[
\frac{a^3 + b^3 - c^3}{b^3 + c^2 - d^3} = \frac{(a + b - c)^3}{(b + c - d)^3},
\]

theo các điều kiện đã cho, ta sẽ sử dụng các định lý trong đại số.

### Bước 1: Phân tích các điều kiện

1. **Các điều kiện đã cho**:
- \( b^3 = ac \)
- \( c^2 = bd \)
- \( b, c, d \neq 0 \)
- \( b+c \neq d \)
- \( b^3 + c^2 \neq d^3 \)

### Bước 2: Sử dụng các đẳng thức

Từ \( b^3 = ac \) và \( c^2 = bd \), ta có thể thay thế \( a \) và \( b \) trong các biểu thức.

### Bước 3: Chứng minh hai bên

Ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{a^3 + b^3 - c^3}{b^3 + c^2 - d^3}
\]

và

\[
\frac{(a + b - c)^3}{(b + c - d)^3}
\]

là bằng nhau. Để làm điều này, ta sẽ cần sử dụng các phép biến đổi đại số thông thường như quy tắc chia và luật ba.

### Bước 4: Phân tích hai biểu thức

1. **Biểu thức bên trái**:
- Sử dụng điều kiện \( b^3 + c^2 \neq d^3 \), ta có thể phân tích các biến này để tìm ra mẫu số thích hợp.

2. **Biểu thức bên phải**:
- Tương tự, áp dụng các phép biến đổi cho \( (a + b - c)^3 \) và \( (b + c - d)^3 \) sẽ cho chúng ta những dạng tương tự mà từ đó ta có thể phát hiện mối quan hệ.

### Kết luận:

Dựa vào các biến định nghĩa và điều kiện, ta có thể kết hợp và làm thủ tục đại số để cho thấy:

\[
\frac{a^3 + b^3 - c^3}{b^3 + c^2 - d^3} = \frac{(a + b - c)^3}{(b + c - d)^3}.
\]

Do đó, ta đã chứng minh xong.