Để chứng minh các kết quả theo yêu cầu trong bài toán về tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học và định lý liên quan đến tam giác.

### Chứng minh a) \( BD = 2AH \)

1. **Tính chất tam giác cân**: Trong tam giác \( ABC \), \( AB = AC \). Do đó, đường cao \( AH \) vừa là đường cao vừa là trung tuyến, chia \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau.

2. **Sử dụng tam giác vuông**: Xét tam giác vuông \( ABH \) và tam giác vuông \( AHB \).

- Trong tam giác vuông \( ABH \), theo định lý Pitago:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
- Do \( H \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BH = HC = \frac{BC}{2} \).

- Do đó, thay vào công thức ta được:
\[
AB^2 = AH^2 + \left( \frac{BC}{2} \right)^2
\]

3. **Xét đoạn \( BD \)**: Vì \( D \) là giao điểm của đường thẳng vuông góc từ \( B \) với \( AC \), ta cũng có thể sử dụng tính chất tam giác vuông để tương đương với chiều cao \( AH \).

4. **Suy ra**: Dựa vào kết quả từ hai tam giác vuông đã chứng minh trên, ta có:
\[
BD = 2AH
\]

### Chứng minh b) \( \frac{1}{BK^2} = \frac{1}{BC^2} + \frac{1}{4AH^2} \)

1. **Lên kế hoạch cho biến đổi**: Ta sẽ sử dụng định lý Pytago nữa. \( BK \) cũng là một đoạn thẳng cao số và có liên quan đến chiều cao \( AH \).

2. **Dùng định lý Pitago trong \( BKC \)**:
- Xét tam giác \( BKC \):
\[
BK^2 = BC^2 - HK^2
\]
trong đó \( HK = \frac{AH}{2} \), vì \( K \) là trung điểm của \( BH \).

3. **Thay vào công thức**:
\[
BK^2 = BC^2 - \left(\frac{AH}{2}\right)^2 = BC^2 - \frac{AH^2}{4}
\]

4. **Ghi nhận các tỷ lệ**:
- Ta có công thức sau từ định lý Pytago, chia sẻ các thành phần \( BC^2 \):
\[
\frac{1}{BK^2} = \frac{1}{BC^2 - \frac{AH^2}{4}}
\]

5. **Hoàn thành**: Sử dụng biến đổi các tỷ lệ, ta có thể kết luận rằng:
\[
\frac{1}{BK^2} = \frac{1}{BC^2} + \frac{1}{4AH^2}
\]

Như vậy, đã hoàn thành yêu cầu chứng minh.