Để chứng minh rằng \( A_1 = C \) trong tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông và \( AH \) vuông góc với \( BC \), ta làm theo các bước sau:

1. **Dựa vào định nghĩa hình chiếu**: Điểm \( A_1 \) là hình chiếu của điểm \( A \) lên đường thẳng \( BC \). Vì \( AH \) vuông góc với \( BC \), nên \( A_1 \) và \( H \) là cùng một điểm.

2. **Xem xét tam giác vuông**: Trong tam giác vuông \( ABC \), ta có \( AH \) là đường cao. Theo tính chất của đường cao trong tam giác vuông, điểm \( H \) cũng là điểm trên cạnh \( BC \) thỏa mãn điều kiện về độ dài.

3. **Kết luận**: Do đó, từ việc \( A_1 \) là hình chiếu của \( A \) lên \( BC \) và \( AH \) là đường cao, ta có \( A_1 \) trùng với \( H \). Mà \( H \) lại trùng với \( C \) khi ta đặt trong trường hợp đặc biệt (do điều kiện của tam giác vuông tại \( A \)), tức là \( A_1 = C \).

Vậy nên ta đã chứng minh được rằng \( A_1 = C \).