Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( F(x) = \frac{2x - 1}{x^2 + 2} \), chúng ta sẽ tìm đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm cực trị.

Bước 1: Tính đạo hàm

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm phân số:

\[
F'(x) = \frac{(x^2 + 2)(2) - (2x - 1)(2x)}{(x^2 + 2)^2}
\]

Bước 2: Đặt tử số bằng 0 để tìm nghiệm:

Tử số là:

\[
(2)(x^2 + 2) - (2x - 1)(2x) = 2x^2 + 4 - (4x^2 - 2x) = 2x^2 + 4 - 4x^2 + 2x = -2x^2 + 2x + 4
\]

Cần giải phương trình:

\[
-2x^2 + 2x + 4 = 0
\]

Chia cả phương trình cho -2:

\[
x^2 - x - 2 = 0
\]

Bước 3: Giải phương trình bậc 2:

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}
\]

Ta có hai nghiệm:

1. \( x = 2 \)
2. \( x = -1 \)

Bước 4: Tính giá trị của \( F \) tại các điểm này:

- Với \( x = 2 \):

\[
F(2) = \frac{2(2) - 1}{2^2 + 2} = \frac{4 - 1}{4 + 2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\]

- Với \( x = -1 \):

\[
F(-1) = \frac{2(-1) - 1}{(-1)^2 + 2} = \frac{-2 - 1}{1 + 2} = \frac{-3}{3} = -1
\]

Bước 5: So sánh giá trị:

Giá trị tại \( x = 2 \) là \( \frac{1}{2} \), còn tại \( x = -1 \) là \( -1 \).

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của \( F(x) \) là:

\[
\text{GTNN của } F = -1.
\]