Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải từng câu a), b), c), d).

### a) Giải phương trình khi \( m = -3 \)

Thay \( m = -3 \) vào phương trình:

\[
x^2 - 2(-3-1)x - 2(-3) - 3 = 0
\]

Điều này trở thành:

\[
x^2 + 8x + 6 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 1, b = 8, c = 6 \):

\[
x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 24}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{40}}{2}
\]

\[
x = \frac{-8 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -4 \pm \sqrt{10}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x_1 = -4 + \sqrt{10}, \quad x_2 = -4 - \sqrt{10}
\]

### b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm \( \forall m \in \mathbb{R} \)

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi định thức lớn hơn hoặc bằng 0.

Tính định thức:

\[
D = b^2 - 4ac = (-2(m-1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2m - 3)
\]

Tính \( D \):

\[
= 4(m-1)^2 + 8m + 12 = 4(m^2 - 2m + 1 + 2m + 3) = 4(m^2 + 4)
\]

Vì \( m^2 + 4 \geq 4 > 0 \) với mọi \( m \), nên \( D \geq 0 \). Vậy phương trình luôn có nghiệm.

### c) Tìm điều kiện của \( m \) để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi:

1. Đị ọn thức \( D > 0 \)
2. Tích hai nghiệm \( c/a < 0 \)

Phương trình có dạng \( ax^2 + bx + c \) với:

\[
c = -2m - 3
\]

Để \( c < 0 \):

\[
-2m - 3 < 0 \implies m > -\frac{3}{2}
\]

Xét \( D > 0 \):

\[
D = 4(m^2 + 4) > 0
\]

Vậy điều kiện là \( m > -\frac{3}{2} \).

### d) Tìm điều kiện của \( m \) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng âm

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng âm khi:

1. Đị ọn thức \( D > 0 \) (điều này đã chứng minh ở phần c)
2. Phương trình có \( c > 0 \):

\[
-2m - 3 > 0 \implies m < -\frac{3}{2}
\]

Vậy điều kiện là \( D > 0 \) và \( c > 0 \), tóm lại:

\[
m < -\frac{3}{2}
\]

Bây giờ ta đã có đủ điều kiện và nghiệm cho từng phần trong bài toán!