Để chứng minh ADHE là hình chữ nhật, ta sẽ thực hiện các bước dưới đây.

### a. Chứng minh ADHE là hình chữ nhật

1. **Gọi các điểm**:
- Gọi AB = c, BC = a, AC = b.
- Do ABC là tam giác vuông tại A nên ta có: \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \) hay \( c^2 + b^2 = a^2 \).

2. **Chứng minh các cạnh AD và EH song song**:
- Từ điểm A hạ đường cao AH xuống cạnh BC. Theo định nghĩa, AH vuông góc với BC.
- Vì D và E đều nằm trên đường tròn, nên từ định lý đường kính: góc DAE và EAH đều vuông.
- Điều này chỉ ra rằng AD và EH đều vuông góc với AH.

3. **Chứng minh các cạnh AE và DH song song**:
- Tương tự, ta có góc AHE và DAE đều vuông.
- Do đó AE và DH cũng vuông góc với AH, nghĩa là AE // DH.

Vì AD || HE và AE || DH, và có 2 cặp cạnh đối diện song song và hai góc vuông, ta kết luận ADHE là hình chữ nhật.

### b. Chứng minh sản phẩm AD.AB = AE.AC

1. **Tình huống trên**: Từ đường tròn, theo định lý tiếp tuyến:
- \( AD \) là tiếp tuyến tại điểm D, và \( AH \) là đường cao.
- Do đó, \( \angle DAB = \angle AHE \).

2. **Vì \( ∠DAB = ∠EAC\)** do đó \( \triangle ABD \sim \triangle AEC \).

3. **Từ tỷ lệ tương ứng của hai tam giác**:
- Ta có:
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}
\]
- Suy ra \( AD.AC = AE.AB \).

### c. Tính DE và diện tích DEKI

1. **Giả sử**: AB = 3, BC = 5.
- Theo định lý Pythagore: \( AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \).

2. **Tính DE**:
- Ta có, khoảng cách DE có thể tính được qua \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \).
- Từ mối quan hệ giữa các đoạn, chúng ta có thể chỉ ra DE = AB - AD (tuy nhiên chúng ta cần cụ thể cách tính).

3. **Diện tích DEKI**:
- Diện tích = đoạn DE * chiều cao tương ứng từ điểm K xuống DE.
- Diện tích = \( \frac{1}{2} \times DE \times h \) với \( h \) là chiều cao từ K đến DE.

Chúng ta cần các giá trị cụ thể cho AD, AE và các thông số còn lại để tính chính xác DE và diện tích DEKI.

Lưu ý: Tình huống cụ thể có thể cần bổ sung thông tin về cách xác định D và E từ đường tròn để có giá trị cụ thể cho DE.