Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu.

### a, Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật

**Đầu tiên**, ta biết rằng tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH hạ từ A xuống cạnh BC.

1. **Xét các đường tròn**:
- Đường tròn (i) với đường kính BH cắt AB tại D.
- Đường tròn K với đường kính HC cắt AC tại E.

2. **Đặc điểm hình học**:
- Vì D nằm trên đường tròn (i) với đường kính BH, nên góc BDA vuông.
- Tương tự, vì E nằm trên đường tròn K với đường kính HC, nên góc AEC vuông.

3. **Kết luận**:
- Tứ giác ADHE có hai góc vuông (góc BDA và góc AEC). Do đó, ADHE là hình chữ nhật.

### b, Chứng minh \(AD \cdot AB = AE \cdot AC\)

Ta có thể sử dụng tính chất của hình chữ nhật và định lý Pythagoras:

1. **Gọi**:
- \(AD = h_1\)
- \(AE = h_2\)

2. **Sử dụng định lý Pytago**:
- Trong tam giác ABC vuông: \(AB^2 + AC^2 = BC^2\)
- Sử dụng đoạn đường cao: \(AD \cdot AB = AH^2\) và \(AE \cdot AC = AH^2\)

Khi đó, nghiệm của tỉ số này cho thấy rằng:

\[
AD \cdot AB = AE \cdot AC
\]

### c, Tính DE và diện tích hình tứ giác DEKI

**Giả sử**: \(AB = 3\) và \(BC = 5\).

1. **Tính độ dài AC**:
- Theo định lý Pythagoras:
\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4
\]

2. **Tính độ dài AD và AE**:
- Sử dụng tỉ lệ:
\[
AD = \frac{AB \cdot AH}{BC}, \quad AE = \frac{AC \cdot AH}{BC}
\]

Nhưng AH có thể tính bằng cách:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4
\]

Giả sử AH là chiều cao h và tính lại:

- AD: \(\frac{3 \cdot 2.4}{5} = 1.44\)
- AE: \(\frac{4 \cdot 2.4}{5} = 1.92\)

3. **Tính DE**:
- Ta đã có:
\[
DE = | AB - AD | = | 3 - 1.44 | = 1.56
\]

4. **Tính diện tích tứ giác DEKI**:
- Diện tích hình chữ nhật DEKI được tính bằng công thức:
\[
\text{Diện tích DEKI} = DE \cdot h
\]

Trong đó, h là chiều cao (DE). Do đó:

\[
\text{Diện tích DEKI} = DE \cdot AE = 1.56 \cdot 1.92 \approx 3
\]

### Kết luận
- ADHE là hình chữ nhật.
- \(AD \cdot AB = AE \cdot AC\)
- \(DE = 1.56\) và diện tích tứ giác DEKI khoảng 3 unités carrées (được tính theo đơn vị diện tích phù hợp).