Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

1. **Tổng số gạo**: Cửa hàng nhập 120 kg gạo.

2. **Sáng bán**:
- Bán được \( \frac{1}{4} \) số gạo và 20 kg.
- Tính \( \frac{1}{4} \) của 120 kg:
\[
\frac{1}{4} \times 120 = 30 \text{ kg}
\]
- Tổng số gạo bán buổi sáng:
\[
30 + 20 = 50 \text{ kg}
\]

3. **Số gạo còn lại sau buổi sáng**:
\[
120 - 50 = 70 \text{ kg}
\]

4. **Chiều bán**:
- Bán được \( \frac{1}{2} \) số gạo còn lại và 10 kg.
- Tính \( \frac{1}{2} \) của 70 kg:
\[
\frac{1}{2} \times 70 = 35 \text{ kg}
\]
- Tổng số gạo bán buổi chiều:
\[
35 + 10 = 45 \text{ kg}
\]

5. **Số gạo còn lại sau buổi chiều**:
\[
70 - 45 = 25 \text{ kg}
\]

Vậy **số gạo còn lại** sau khi bán cả ngày là **25 kg**.