Đường tròn (C) đi qua hai điểm A(2;3), B(-1;1) có tâm thuộc Δ: x-3y-11=0. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Để giải bài toán này, ta cần làm rõ từng mệnh đề về đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng Δ: \( x - 3y - 11 = 0 \) và đi qua hai điểm A(2;3) và B(-1;1).

### 1. Mệnh đề (a): Tâm của đường tròn (C) là \( \left( \frac{7}{4}; -\frac{1}{4} \right) \)

- Để tìm tâm O của đường tròn, ta biết rằng O cần thỏa mãn phương trình của đường thẳng Δ.
- Thay vào phương trình \( x - 3y - 11 = 0 \):
\[
\frac{7}{4} - 3 \left(-\frac{1}{4}\right) - 11 = \frac{7}{4} + \frac{3}{4} - 11 = \frac{10}{4} - 11 = \frac{10}{4} - \frac{44}{4} = -\frac{34}{4} \neq 0
\]
- Mệnh đề (a) **sai**.

### 2. Mệnh đề (b): Điểm O(0;0) nằm bên trong đường tròn (C)

- Khoảng cách từ O(0;0) đến A(2;3) là:
\[
d(O, A) = \sqrt{(2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}
\]
- Khoảng cách từ O(0;0) đến B(-1;1) là:
\[
d(O, B) = \sqrt{(-1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
\]
- Để O(0;0) nằm bên trong đường tròn, khoảng cách từ O đến tâm O' phải nhỏ hơn bán kính R, nhưng chúng ta chưa xác định R mà chỉ biết O thuộc Δ.
- Mệnh đề (b) không thể xác định chính xác **do không đủ thông tin.**.

### 3. Mệnh đề (c): Đường kính của đường tròn (C) bằng 65

- Đường kính D = 2R. Chúng ta chưa có bán kính, nên không thể đánh giá mệnh đề này. Phải xác định R trước.
- Mệnh đề (c) **không thể xác định**.

### 4. Mệnh đề (d): Đường tròn (C) đi qua điểm N(0;2)

- Nếu N(0;2) là điểm bên trong hay bên ngoài đường tròn, ta cần kiểm tra khoảng cách từ N(0;2) đến các điểm A và B.
- Khoảng cách từ N(0;2) đến A(2;3):
\[
d(N, A) = \sqrt{(2-0)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
\]
- Khoảng cách từ N(0;2) đến B(-1;1):
\[
d(N, B) = \sqrt{(-1-0)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
\]
- Không có dữ liệu về R, do đó ta không thể xác định phía đường tròn (C) có đi qua N(0;2) hay không.
- Mệnh đề (d) **không thể xác định**.

### Kết luận:

- (a) ***Sai***
- (b) ***Không thể xác định***
- (c) ***Không thể xác định***
- (d) ***Không thể xác định***