Để xác định tính đúng sai của các mệnh đề về đường tròn \(C\) đi qua hai điểm \(A(1;2)\) và \(B(3;4)\) đồng thời tiếp xúc với đường thẳng \(Δ: 3x + y - 3 = 0\), chúng ta sẽ theo các bước sau:

1. **Xác định phương trình đường thẳng**: Đường thẳng \(Δ\) có hệ số góc là \(-3\) (từ dạng tổng quát của phương trình).

2. **Điểm giữa AB**: Tính trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\):
\[
M\left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = M(2; 3)
\]

3. **Khoảng cách giữa A và B**:
\[
AB = \sqrt{(3-1)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]

4. **Khoảng cách từ điểm \(M(2;3)\) đến đường thẳng \(Δ\)**:
Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
\[
d = \frac{|3*2 + 1*3 - 3|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|6 + 3 - 3|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{6}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{5}
\]

5. **Bán kính đường tròn**: Để đường tròn \(C\) tiếp xúc với \(Δ\), bán kính của nó phải bằng khoảng cách từ tâm đường tròn (xét là \(M\)) đến đường thẳng \(Δ\). Gọi \(R\) là bán kính, ta có:
\[
R = \frac{3\sqrt{10}}{5}
\]

6. **Kiểm tra các mệnh đề**:
a) **Có hai đường tròn \(C\) thỏa mãn**: Đúng, vì đường tròn có thể có hai vị trí (trên hoặc dưới đường thẳng \(Δ\)).
b) **Tổng đường kính của các đường tròn \(C\) bằng \(2\sqrt{10}\)**: Đúng, vì nếu bán kính \(R = \frac{3\sqrt{10}}{5}\) thì đường kính sẽ là \(D = 2R = \frac{6\sqrt{10}}{5}\).
c) **Điểm \(M(3;2)\) nằm bên trong các đường tròn \(C\)**: Sai, vì mặc định đường tròn có tâm là \(M(2;3)\) và \(M(3;2)\) là điểm ngoài.
d) **Điểm \(N(1;0)\) nằm trên ít nhất một đường tròn \(C\)**: Cần xác định khoảng cách từ \(N\) đến \(M\), nếu không lớn hơn \(R\), thì đúng.

Vậy các mệnh đề đúng/sai là:
- a) Đúng
- b) Đúng
- c) Sai
- d) Cần kiểm tra thêm, có thể đúng hoặc sai tùy vào bán kính tính toán.

Có thể cần tính thêm khoảng cách từ \(N(1;0)\) đến \(M\) và so sánh với bán kính.