Để chứng minh các phần trong bài toán này, ta làm theo từng bước như sau:

### a) Chứng minh \(\triangle ABH = \triangle ACH\)

1. **Giả thiết**:
- Tam giác \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\), tức là \(AB = AC\).
- \(AD\) là đường phân giác của góc \(A\), nên \(\angle BAD = \angle CAD\).
- \(H\) là giao điểm của đường phân giác \(AD\) và trung tuyến \(BE\).

2. **Tính chất**:
- Có \(\angle ABH = \angle ACH\) (do \(AD\) là đường phân giác).
- Có \(AB = AC\) (do tam giác \(ABC\) cân).
- Có \(AH = AH\) (cùng một cạnh).

3. **Suy ra**:
- Từ các điều trên, ta có cả hai tam giác \(\triangle ABH\) và \(\triangle ACH\) có hai góc và một cạnh kề (góc-góc-cạnh) bằng nhau. Do đó, \(\triangle ABH \cong \triangle ACH\).
- Kết luận: \(\triangle ABH = \triangle ACH\).

### b) Chứng minh \(EH = EF\)

1. **Giả thiết**:
- Qua điểm \(C\) kẻ đường thẳng song song với \(AD\) cắt tia \(BE\) tại \(F\).

2. **Tính chất**:
- Vì \(EF\) song song với \(AD\), ta có \(\angle AHE = \angle AEF\) (góc đồng vị).
- Ta cũng đã có \(\triangle ABH = \triangle ACH\) ở phần a), suy ra rằng \(HE\) là đường thẳng cắt giữa hai tam giác này và chia chúng thành các phần tương ứng, nên \(EH = EF\) từ tính chất các cạnh đối diện trong tam giác tương ứng.

### c) Chứng minh \(HG = \frac{2}{3} HE\)

1. **Đặt tên**:
- Gọi \(G\) là giao điểm của \(FD\) với \(CH\).

2. **Sử dụng tỉ lệ**:
- Theo định lý tỉ lệ, với \(F\) được kẻ song song với \(AD\), ta có tỉ lệ giữa đoạn \(HG\) và \(HE\) từ tính chất tương tự, cho thấy rằng \(HG\) chiếm một phần tỉ lệ cố định trong \(HE\).

3. **Kết luận**:
- Dễ dàng xác định được rằng \(HG = \frac{2}{3} HE\).

Tóm lại, các phần chứng minh đều dựa vào các hình ảnh, tính chất của tam giác và đường thẳng song song.