Cho nửa đường tròn o đường kính ab.từ 1 điểm m trên đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy với nửa đường tròn.gọi h và k lân lượt là chân đường vuông góc kẻ từ a và b lên xy.chúng minh rằng a)m là trung điểm của hk b)đường tròn đường kính hk tiếp xúc

Để chứng minh hai yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a) Chứng minh rằng M là trung điểm của HK

Giả sử bán kính của nửa đường tròn O với đường kính AB là R và O là tâm của đường tròn. Ta ký hiệu:
- H là chân đường vuông góc từ A đến đường thẳng XY.
- K là chân đường vuông góc từ B đến đường thẳng XY.

Cả hai đoạn AH và BK đều vuông góc với XY, vì thế, ta sẽ xem xét tam giác AMO và BM.

**Ghi chú:**
- M nằm trên nửa đường tròn, nên OM = R.
- AH vuông góc với XY, đồng thời HK cũng vuông góc với XY theo định nghĩa.

Gọi góc ∠AMO = θ, do đó góc ∠BMO = 90° - θ.

Dựa vào tính chất tam giác vuông, ta có:

\( AH = OM \cdot \sin(θ) = R \cdot \sin(θ) \)
\( BK = OM \cdot \sin(90° - θ) = R \cdot \cos(θ) \)

Tại H và K, tam giác AMO và BMO có độ dài như sau:
- Độ dài đoạn HK = AH + BK.

Ta cũng có được:

\( AM = R \cdot \cos(θ) \)
\( BM = R \cdot \sin(θ) \)

Do đó, ta thấy rằng bây giờ khoảng cách từ M đến H và M đến K sẽ đều bằng nhau, và do đó:

M chính là trung điểm của HK.

### b) Chứng minh rằng đường tròn đường kính HK tiếp xúc với AB

Đường tròn đường kính HK có tâm tại I là trung điểm của HK. Để chứng minh rằng đường tròn này tiếp xúc với đường thẳng AB, ta cần chỉ ra rằng khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng AB bằng bán kính của đường tròn (bán kính là khoảng cách từ I đến H hoặc K).

Do M là trung điểm của HK, và HK vuông góc với đường thẳng AB, thì từ tâm I tới đường thẳng AB cũng sẽ vuông góc. Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB chính là độ dài của bán kính của đường tròn đường kính HK.

Ta có rằng HK là một đường thẳng vuông góc với AB, do đó khoảng cách từ I tới AB bằng bán kính của đường tròn đường kính HK.

Vì vậy, đường tròn đường kính HK tiếp xúc với đường thẳng AB.

### Kết luận:
1. M là trung điểm của HK.
2. Đường tròn đường kính HK tiếp xúc với đường thẳng AB.